Как пользоваться таблицей манна уитни. Автоматический расчет U-критерия Манна-Уитни

В этой статье Вы узнаете, почему кроме t-теста существуют другие методы сравнения двух выборок. Начнем мы с того, что вспомним о нормальности данных и связанной с ней делением статистических тестов на две категории: параметрические и непараметрические. О последних мы поговорим более подробно: разберем три наиболее популярных теста, а также научимся их запускать в среде R.

Параметрический или непараметрический критерий различия?

Статистические методы, использующие параметры нормального распределения данных (среднее, стандартное отклонение и прочее) называются параметрическими . Так например, рассмотренный в предыдущей статье является типичным параметрическим методом. Почему? Потому, что главным условием для его проведения является нормальное распределение количественных данных. Непараметрические методы, напротив, не зависят от распределения данных и позволяют работать как с количественными, так и с порядковыми данными (например: размер обуви, шкала силы землетрясений).

При нормальном распределении данных параметрические критерии имеют большую мощность по сравнению с непараметрическими. Однако, когда данные выборок не проходят тесты нормальности (такие, как qqplot и Шапиро тест), непараметрические методы дают более точные предсказания. Особенно они эффективны с выборками небольшого размера (<100 наблюдений), на распределение которых могут влиять неизвестные факторы. Сегодня мы познакомимся с непараметрическими аналогами t-теста, использующимися также, для сравнения двух выборок. При выборе критерия следует обратить внимание на две вещи: зависимость данных выборок друг от друга и объем выборок.

На приведенном выше рисунке Вы видите упрощенную классификацию методов сравнения средних (или медиан) двух выборок. Мы кратко поговорим о каждом из непараметрических критериев, и научимся применять их в среде R. Чтож, приступим!

Критерий Уилкоксона

Начнем знакомство с непараметрических тестов для зависимых выборок. Прежде всего стоит отметить, что выборки называются зависимыми, когда испытуемые одной и той же группы были протестированы в разные моменты времени с меняющимися (1) или неменяющимися (2) условиями эксперимента. В первом случае проверяется эффект какого либо действия в сравнении с контрольным измерением ("до и после"), во втором - повторяемость результатов эксперимента ("контроль-повтор").

Тест Уилкоксона (от английского "Wilcoxon signed-rank test") является широко используемым и эффективным методом выявления различий между медианами двух зависимых выборок с распределением данных отличным от нормального. Он идеально подходит для сравнения маленьких выборок, где количество испытуемых/исследований больше 5, но меньше 50. Как и для всех критериев, рассмотренных в этой статье, данные могут быть как количественными, так и порядковыми. Метод был разработан в 1945 году американским статистиком и химиком Фрэнком Уилкоксоном (фото справа).

Чтобы запустить тест Уилкоксона в среде R следует загрузить данные выборок и ввести следующую команду:

Как и в t-тесте, в непараметрических статистических тестах внутри скобок можно добавить дополнительные параметры, такие как alternative , conf.int , conf.level . Чтобы посмотреть все аргументы функции, поставьте перед ней знак вопроса, в нашем случае: ?wilcox.test

G-критерий знаков

Если же количество исследований в выборке больше 50, то следует использовать G-критерий знаков. Критерий знаков по статистической мощности уступает Уилкоксону, но превосходит большинство других непараметрических аналогов. Данные выборок должны быть зависимыми, количество исследований в выборке от 5, но не более 300 (про механизм расчетов и ограничения метода можно почитать ).

Провести тест в R не сложно, но потребуется сделать несколько манипуляций с данными. Сначала мы загрузим данные двух зависимых выборок, например систолическое (верхнее) давление до и после применения лекарства у 60 пациентов-гипертоников. Загрузим данные "before" и "after" в среду R. Затем визуализируем их.

Затем найдем разность между векторами "before" и "after" и назовем новый вектор "difference", после чего при помощи команды length узнаем его длину. Так как нас интересует, снижает ли лекарство давление у пациентов, мы узнаем какое количество элементов в векторе "difference" больше нуля. Это количество принято называть числом "успехов".

Теперь все готово для того, чтобы запустить G-критерий знаков в R. Для этого воспользуемся командой binom.test , где в параметрах функции укажем сначала число "успехов", затем число исследований в выборке.

Нулевая гипотеза говорит о том, что медианы выборок статистически не отличаются, альтернативная - что статистические различия есть. В нашем случае p-value значительно меньше 0.05, поэтому мы можем с уверенностью отвергнуть нулевую гипотезу и принять альтернативую: две выборки статистически отличаются друг от друга. Также мы видим, что у 83% пациентов давление снизилось. Для демонстрации статистической значимости результатов эксперимента, просто добавьте к графику надпись p-value < 0.001.

Критерий Манна-Уитни

Этот тест также был изначально разработан и опубликован Уилкоксоном в 1945 году. Однако спустя два года его существенно усовершенствовали два математика, в честь которых и был назван критерий. В отличие от двух предыдущих критериев, тест Манна-Уитни используется при сравнении двух независимых выборок , также имеющих отклонения от нормального распределения. Подробнее об алгоритме расчета данного критерия можете почитать в этой статье .

Запустить тест Манна-Уитни в R крайне просто, используем уже известную нам функцию "wilcox.test" и убираем из скобок "paired = T":

Однако при проведении этого метода необходимо соблюдать два условия. Во-первых, одинаковые значения в выборке должны быть сведены к минимуму (все числа должны быть разными). Во-вторых, в каждой выборке должно быть не менее трех исследований (минимум 3 и 3, также допускается 5 и 2).

Заключение

Непараметрических методов существует великое множество, сегодня мы познакомились лишь с тремя наиболее используемыми критериями для сравнения двух выборок. В среде R эти тесты запустить довольно просто, поэтому главный акцент в выборе метода следует делать на его пригодность к решению конкретно Вашей задачи.

где
,

7. Определить критическое значение -критерия (см. прил., табл. А3).

8. Сравнить расчетное и критическое значение -критерия. Если расчетное значе­ние больше или равно критическому, то гипотеза
равенства средних значений в двух выборках изменений отвергается. Во всех других случаях она прини­мается на заданном уровне значимости.

Лекция 4. Критерии для непараметрических распределений

4.1. -Критерий Манна-Уитни

Назначение критерия. Критерий предназначен для оценки различии между двумя непараметрическими вы­борками по уровню какого-либо признака, количественно измеренного. Он позволяет выявлять различия между малыми выборками, когда

Описание критерия

Этот метод определяет, достаточно ли мала зона пересекающихся значений между двумя рядами. Чем меньше эта область, тем более вероятно, что различия достоверны. Эмпирическое значение критерия и отражает то, насколько велика зона совпадения между рядами. Поэтому, чем меньше
тем более вероятно, что различия достоверны.

Гипотезы

Уровень признака в группе 2 не ниже уровня признака в группе 1.

Уровень признака в группе 2 ниже уровня признака в группе 1.

Алгоритм расчета критерия Манна-Уитни

1. Перенести все данные испытуемых на индивидуальные карточки.

2. Пометить карточки испытуемых выборки 1 одним цветом, скажем, красным, а все карточки из выборки 2 – другим, например синим.

3. Разложить все карточки в единый ряд по степеням нарастания признака, не считаясь с тем, к какой выборке они относятся, как если бы была одна большая выборка.

4. Проранжировать значения на карточках, приписывая меньшему значению меньший ранг.

5. Вновь разложить карточки на две группы, ориентируясь на цветные обозначения: красные карточки в один ряд, синие – в другой.

7. Определить большую из двух ранговых сумм.

8. Определить по формуле значение

,

где
количество испытуемых в выборке 1;
количество испытуемых в выборке 2;
большая из двух ранговых сумм;
количество испытуемых в группе с большей суммой рангов.

9. Определить критические значения . Если
то

гипотеза
принимается. Если
то отвергается. Чем меньше

значения , тем достоверность различий выше.

Пример. Сравнить эффективность двух методов обучения в двух группах. Результаты испытаний представлены в таблице 4.

Таблица 4

Перенесем все данные в другую таблицу, выделив данные второй группы, подчеркиваем и делаем ранжирование общей выборки (см. алгоритм ранжирования в методических указаниях к заданию).

Найдем сумму рангов двух выборок и выберем большую из них:

Рассчитаем эмпирическое значение критерия по формуле (3)

Определим критическое значение критерия при уровне значи­мости
(см. прил. табл. А1)

Вывод: так как расчетное значение критерия больше критического при уровне зна­чимости
и
, гипотеза о равенстве средних принимается, различия в методиках обучения будут несущественны.

Непараметрический критерий Манна-Уитни используется для сравнения двух независимых выборок. При этом совсем не важно, чтобы выборки были одинакового размера. Напомним, что все элементы из первой выборки сравниваются со всеми элементами второй выборки. Если какой-то элемент больше сравниваемого, то ему засчитывается 1 балл. Если элементы равны, то им засчитывается по 0,5 балла. Затем баллы элементов для каждой выборки суммируются, а меньшая полученная сумма является критерием – U-статистика. Если выборки не имеют существенных различий, то значение критерия должно быть больше критического значения для выборок соответствующего размера.

Примечание.
Здесь приведено очень упрощенное описание критерия Манна-Уитни, т.к. подразумевается, что Вы уже с ним знакомы.

Пример расчета критерия Манна-Уитни

У нас есть небольшой набор данных с эффективностью продаж двух продавцов:

Мы хотим определить, какой из продавцов работает лучше, и выплатить лучшему продавцу повышенную премию. Сделаем это с помощью надстройки от office-menu.

Перейдем на вкладку надстройки и кликнем на ленте пункт с нужным критерием, после чего будет предложено выбрать диапазон с данными для анализа. Диапазон выбирается без заголовков, первый столбец должен содержать наименование выборок, второй значения для них.

После клика по кнопке «Готово» откроется новая книга Excel с готовым расчетом и вспомогательной таблицей.

Из анализа видно, несмотря на то что продавец Иван хоть и имеет низкую конверсию в сравнении с Петром, это не говорит о том, что он работает хуже, а высокая конверсия Петра может быть выбросами в данных. Возможно на больших выборках результаты поменяются, но на текущем наборе говорить о существенных различиях нельзя.

Для того, чтобы использовать описанные в данной категории функции, скачайте и установите нашу надстройку.
Работа надстройки была успешно протестирована на версиях Excel: 2007, 2010 и 2013. В случае возникновения проблем с ее использованием, сообщайте .

• < Назад

Если материалы office-menu.ru Вам помогли, то поддержите, пожалуйста, проект, чтобы мы могли развивать его дальше.

Методы математической обработки в психологии

ГЛАВА I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКЕ ПСИХОЛОГИЧЕСКИХ ДАННЫХ

Возможности и ограничения параметрических и непараметрических критериев

Классификация задач и методов их решения

ГЛАВА II. ВЫЯВЛЕНИЕ РАЗЛИЧИЙ В УРОВНЕ ИССЛЕДУЕМОГО ПРИЗНАКА

Принятие решения о выборе метода математической об­работки

Если данные уже получены, то вам предлагается следующий ал­горитм определения задачи и метода.

АЛГОРИТМ 2

Принятие решения о задаче и методе обработки на стадии планирования исследования

1. Определите, какая модель вам кажется наиболее подходящей для доказательства ваших научных предположений.

2. Внимательно ознакомьтесь с описанием метода, примерами и задачами для самостоятельного решения, которые к нему прилагаются.

3. Если вы убедились, что это то, что вам нужно, вернитесь к разделу «Ограничения критерия» и решите, сможете ли вы собрать данные, которые будут отвечать этим ограничениям (большие объемы выборок, наличие не­скольких выборок, монотонно различающихся по какому-либо признаку, напри­мер, по возрасту и т.п.).

4. Проводите исследование, а затем обрабатывайте полученные данные по заранее! выбранному алгоритму, если вам удалось выполнить ограничения.

5. Если ограничения выполнить не удалось, обратитесь к алгоритму 1.

Алгоритм принятия решения о выборе критерия для сопоставлений

Q - критерий Розенбаума

Назначение критерия . Критерий используется для оценки различий между двумявы­борками по уровнюкакого-либо признака, количественно измеренного. В каждой из выборок должно быть не менее 11 испытуемых.

Пример.

У предполагаемых участников психологического эксперимента, моделирующего деятельность воздушного диспетчера, был измерен уро­вень вербального и невербального интеллекта с помощью методики Д. Векслера. Было обследовано 26 юношей в возрасте от 18 до 24 лет (средний возраст 20,5 лет). 14 из них были студентами физического факультета, а 12 - студентами психологического факультета Ленинград­ского университета. Можно ли утверждать, что одна из групп превосходит другую по уровню вербального интеллекта?

Таблица I. Критические значения критерия Q Розенбаума

U - критерий Манна-Уитни

Назначение критерия . Критерий предназначен для оценки различий между двумя вы­борками по уровню какого-либо признака, количественно измеренного. Он позволяет выявлять различия между малыми выборками, когда n 1 ,n 2 ≥ 3 или n 1 =2, n 2 ≥5, и является более мощным, чем критерий Ро­зенбаума.

Пример

Уровень вербального интеллекта в выборке студентов физического факультета выше чем студентов психологического факультета Ленинградского университета. Попытаемся установить теперь, воспроизводится ли этот резуль­тат при сопоставлении выборок по уровню невербального интеллекта. Можно ли утверждать, что одна из выборок превосходит другую по уровню невербального интеллекта?

Правила ранжирования

1. Меньшему значению начисляется меньший ранг. Наименьшему значению начисляется ранг 1. Наибольшему значению начисляется ранг, соответствующий количе­ству ранжируемых значений. Например, если n=7, то наибольшее значение получит ранг 7, за возможным исключением для тех слу­чаев, которые предусмотрены правилом 2.

2. В случае, если несколько значений равны, им начисляется ранг, представляющий собой среднее значение из тех рангов, которые они получили бы, если бы не были равны.

Допустим, следующие 2 значения равны 12 сек. Они должны были бы получить ранги 4 и 5, но, поскольку они равны, то получают средний ранг:

3. Общая сумма рангов должна совпадать с расчетной, которая опре­деляется по формуле:

где N - общее количество ранжируемых наблюдений (значений). Несовпадение реальной и расчетной сумм рангов будет свидетельст­вовать об ошибке, допущенной при начислении рангов или их сум­мировании. Прежде чем продолжить работу, необходимо найти ошибку и устранить ее.

АЛГОРИТМ 4

Подсчет критерия U Манна-Уитни.

1. Перенести все данные испытуемых на индивидуальные карточки.

2. Пометить карточки испытуемых выборки 1 одним цветом, скажем красным, а все карточки из выборки 2 - другим, например синим.

3. Разложить все карточки в единый ряд по степени нарастания при­знака, не считаясь с тем, к какой выборке они относятся, как если бы мы работали с одной большой выборкой.

4. Проранжировать значения на карточках, приписывая меньшему зна­чению меньший ранг. Всего рангов получится столько, сколько у нас (n 1 +п 2).

5. Вновь разложить карточки на две группы, ориентируясь на цветные обозначения: красные карточки в один ряд, синие - в другой.

7. Определить большую из двух ранговых сумм.

8. Определить значение U по формуле:

где n 1 - количество испытуемых в выборке 1;

n 2 - количество испытуемых в выборке 2;

Т х - большая из двух ранговых сумм;

n х - количество испытуемых в группе с большей суммой рангов.

9. Определить критические значения U по Табл. II. Если U эмп ≤ U к p _ 005 , различия достоверны. Чем меньше значения U, тем достоверность различий выше.

Таблица II. Критические значения критерия U Манна-Уитни

для уровней статистической значимости р≤0,05 и р≤0,01.

Таблица II. Продолжение

Таблица II. Продолжение

Критерий в математической статистике - это строгое правило, в соответствии с которым гипотеза с определённым уровнем значимости принимается или отвергается. Чтобы построить его, необходимо найти определенную функцию. Она должна зависеть от конечных результатов эксперимента, то есть от эмпирически найденных значений. Именно эта функция будет являться инструментом оценки расхождения между выборками.

Статистически значимая величина. Общие сведения

Статистическая значимость - это величина, вероятность случайного возникновения которой очень мала. Незначительны также и более крайние ее показатели. Разницу называют статистически значимой в том случае, если существуют данные, вероятность появления которых незначительна, если утверждать, что эти расхождения не существуют. Но это не значит вовсе, что эта разница обязательно должна быть велика и значима.

Уровень статистической достоверности теста

Под данным термином следует понимать вероятность отклонения нулевой гипотезы в случае её истинности. Это также называется ошибкой первого рода или ложноположительным решением. В большинстве случаев процесс опирается на p-величину ("пи-величина"). Это накопленная вероятность при наблюдении за уровнем статистического критерия. Он, в свою очередь, насчитывается по выборке во время принятия нулевой гипотезы. Предположение будет отвергнуто, если эта p-величина будет меньше заявленного аналитиком уровня. От этого показателя зависит напрямую значимость тестовой величины: чем она меньше, тем, соответственно, и больше оснований отвергнуть гипотезу.

Уровень значимости, как правило, обозначается буквой б (альфа). Популярные показатели среди специалистов: 0,1%, 1%, 5% и 10%. Если, скажем, говорится, что шансы на совпадения равны 1 к 1000, то определённо речь идёт об уровне 0,1% статистической значимости случайной величины. Различные по значению б-уровни имеют свои плюсы и минусы. Если показатель меньше, то больше вероятность, что альтернативная гипотеза значимая. Хотя при этом возможен риск, что ложное нулевое предположение не будет отвергнуто. Можно сделать вывод, что выбор оптимального б-уровня зависит от баланса "значимость-мощность" или, соответственно, от компромисса вероятностей ложноположительного и ложноотрицательного решений. Синонимом "статистической значимости" в отечественной литературе является термин "достоверность".

Определение нулевой гипотезы

В математической статистике проверяемое на согласованность с уже имеющимися в запасе эмпирическими данными. В большинстве случаев в качестве нулевой гипотезы берётся гипотеза о том, что корреляция между исследуемыми переменными отсутствует или что в изучаемых распределениях нет различий однородности. При стандартных исследованиях математик пытается опровергнуть нулевую гипотезу, то есть доказать, что она не согласована с экспериментально полученными данными. Причем должно иметь место и альтернативное предположение, которое принимается вместо нулевого.

Ключевое определение

Критерий U (Манна-Уитни) в позволяет оценивать различия двух выборок. Они могут быть даны по уровню некоего признака, который измерен количественно. Этот метод идеален для оценки различий малых выборок. Этот простой критерий был предложен Фрэнком Уилкоксоном в 1945 году. А уже в 1947 году метод был пересмотрен и дополнен учёными Х. Б. Манном и Д. Р. Уитни, именами которых он и именуется по сей день. Критерий Манна-Уитни в психологии, математике, статистике и во многих других науках является одним из основополагающих элементов математического обоснования результатов теоретических исследований.

Описание

Критерий Манна-Уитни - относительно простой метод без параметров. Его мощность значительна. Она существенно выше, чем мощность Q-критерия Розенбаума. Метод оценивает, насколько мала область перекрёстных значений между выборками, а именно между ранжированными рядами значений первой и второй подборки. Чем значение критерия меньше, тем больше вероятность, что расхождения значений параметра достоверны. Чтобы корректно применить критерий U (Манна-Уитни), не стоит забывать о некоторых ограничениях. В каждой выборке должно быть как минимум 3 значения признака. Возможна ситуация, когда в одном случае значений два, но во втором обязательно тогда их должно быть хотя бы пять. В исследуемых выборках должно быть минимальное количество совпадающих показателей. Все числа должны быть разными в идеальном случае.

Использование

Как правильно использовать критерий Манна-Уитни? Таблица, которая составлена по данному методу, содержит определенные критические значения. Для начала нужно создать единый ряд из обеих сопоставленных выборок, который затем ранжируется. То есть элементы выстраиваются по степени нарастания признака, и меньший ранг присваивается меньшему значению. В итоге получим такое общее число рангов:

N = N1 + N2,

где величины N1 и N2 - количество единиц, содержащихся в первой и второй выборках соответственно. Далее единый ранжированный ряд значений делится на две категории. Единицы, соответственно, из первой и второй выборок. Теперь считается по очереди сумма рангов значений в первом и во втором рядах. Определяется большая из них (Tx), которая соответствует выборке с nx единицами. Чтобы использовать метод Уилкоксона далее, вычисляется его значение по следующей методике. Необходимо по таблице для выбранного уровня значимости выяснить критическое значение этого критерия для конкретно взятых N1 и N2.

Получившийся показатель может быть меньше или равен значению из таблицы. В этом случае констатируется значительное различие уровней признака в исследуемых выборках. Если полученное значение больше табличного, тогда нулевая гипотеза принимается. Когда производится расчет критерия Манна-Уитни, следует заметить, что если нулевая гипотеза справедлива, критерий будет иметь а также дисперсию. Отметим, что при достаточно больших объёмах данных выборок метод считается практически нормально распределенным. Достоверность различий тем выше, чем меньшее значение принимает критерий Манна-Уитни.