Первый замечательный предел как решать. Первый замечательный предел

Термин "замечательный предел" широко используется в учебниках и методических пособиях для обозначения важных тождеств, которые помогают существенно упростить работу по нахождению пределов.

Но чтобы суметь привести свой предел к замечательному, нужно к нему хорошенько приглядеться, ведь они встречаются не в прямом виде, а часто в виде следствий, снабженные дополнительными слагаемыми и множителями. Впрочем, сначала теория, потом примеры, и все у вас получится!

Первый замечательный предел

Понравилось? Добавьте в закладки

Первый замечательный предел записывается так (неопределенность вида $0/0$):

$$ \lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1. $$

Следствия из первого замечательного предела

$$ \lim\limits_{x\to 0}\frac{x}{\sin x}=1. $$ $$ \lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin (ax)}{\sin (bx)}=\frac{a}{b}. $$ $$ \lim\limits_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1. $$ $$ \lim\limits_{x\to 0}\frac{\arcsin x}{x}=1. $$ $$ \lim\limits_{x\to 0}\frac{\arctan x}{x}=1. $$ $$ \lim\limits_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2/2}=1. $$

Примеры решений: 1 замечательный предел

Пример 1. Вычислить предел $$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{8x}.$$

Решение. Первый шаг всегда одинаковый - подставляем предельное значение $x=0$ в функцию и получаем:

$$\left[ \frac{\sin 0}{0} \right] = \left[\frac{0}{0}\right].$$

Получили неопределенность вида $\left[\frac{0}{0}\right]$, которую следует раскрыть. Если посмотреть внимательно, исходный предел очень похож на первый замечательный, но не совпадает с ним. Наша задача - довести до похожести. Преобразуем так - смотрим на выражение под синусом, делаем такое же в знаменателе (условно говоря, умножили и поделили на $3x$), дальше сокращаем и упрощаем:

$$ \lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{8x} = \lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{3x}\frac{3x}{8x}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin (3x)}{3x}\frac{3}{8}=\frac{3}{8}. $$

Выше как раз и получился первый замечательный предел: $$ \lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin (3x)}{3x} = \lim\limits_{y\to 0}\frac{\sin (y)}{y}=1, \text{ сделали условную замену } y=3x. $$ Ответ: $3/8$.

Пример 2. Вычислить предел $$\lim\limits_{x\to 0}\frac{1-\cos 3x}{\tan 2x\cdot \sin 4x}.$$

Решение. Подставляем предельное значение $x=0$ в функцию и получаем:

$$\left[ \frac{1-\cos 0}{\tan 0\cdot \sin 0}\right] =\left[ \frac{1-1}{ 0\cdot 0}\right] = \left[\frac{0}{0}\right].$$

Получили неопределенность вида $\left[\frac{0}{0}\right]$. Преобразуем предел, используя в упрощении первый замечательный предел (три раза!):

$$\lim\limits_{x\to 0}\frac{1-\cos 3x}{\tan 2x\cdot \sin 4x} = \lim\limits_{x\to 0}\frac{ 2 \sin^2 (3x/2)}{\sin 2x\cdot \sin 4x}\cdot \cos 2x = $$ $$ = 2\lim\limits_{x\to 0}\frac{ \sin^2 (3x/2)}{(3x/2)^2} \cdot \frac{ 2x}{\sin 2x} \cdot \frac{ 4x}{ \sin 4x}\cdot \frac{ (3x/2)^2}{ 2x \cdot 4x} \cdot \cos 2x = $$ $$ =2\lim\limits_{x\to 0} 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac{ (9/4)x^2}{ 8x^2} \cdot \cos 2x= 2 \cdot \frac{ 9}{ 32} \lim\limits_{x\to 0} \cos 2x=\frac{9}{16}. $$

Ответ: $9/16$.

Пример 3. Найти предел $$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin (2x^3+3x)}{5x-x^5}.$$

Решение. А что если под тригонометрической функцией сложное выражение? Не беда, и тут действуем аналогично. Сначала проверим тип неопределенности, подставляем $x=0$ в функцию и получаем:

$$\left[ \frac{\sin (0+0)}{0-0}\right] = \left[\frac{0}{0}\right].$$

Получили неопределенность вида $\left[\frac{0}{0}\right]$. Умножим и поделим на $2x^3+3x$:

$$ \lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin (2x^3+3x)}{5x-x^5}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin (2x^3+3x)}{(2x^3+3x)} \cdot \frac{2x^3+3x}{5x-x^5}=\lim\limits_{x\to 0} 1 \cdot \frac{2x^3+3x}{5x-x^5}= \left[\frac{0}{0}\right] = $$

Снова получили неопределенность, но в этом случае это просто дробь. Сократим на $x$ числитель и знаменатель:

$$ =\lim\limits_{x\to 0} \frac{2x^2+3}{5-x^4}= \left[\frac{0+3}{5-0}\right] =\frac{3}{5}. $$

Ответ: $3/5$.

Второй замечательный предел

Второй замечательный предел записывается так (неопределенность вида $1^\infty$):

$$ \lim\limits_{x\to \infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e, \quad \text{или} \quad \lim\limits_{x\to 0} \left(1+x\right)^{1/x}=e. $$

Следствия второго замечательного предела

$$ \lim\limits_{x\to \infty} \left(1+\frac{a}{x}\right)^{bx}=e^{ab}. $$ $$ \lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln (1+x)}{x}=1. $$ $$ \lim\limits_{x\to 0}\frac{e^x -1}{x}=1. $$ $$ \lim\limits_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x \ln a}=1, a>0, a \ne 1. $$ $$ \lim\limits_{x\to 0}\frac{(1+x)^{a}-1}{ax}=1. $$

Примеры решений: 2 замечательный предел

Пример 4. Найти предел $$\lim\limits_{x\to \infty}\left(1-\frac{2}{3x}\right)^{x+3}.$$

Решение. Проверим тип неопределенности, подставляем $x=\infty$ в функцию и получаем:

$$\left[ \left(1-\frac{2}{\infty}\right)^{\infty} \right] = \left.$$

Получили неопределенность вида $\left$. Предел можно свести к второму замечательному. Преобразуем:

$$ \lim\limits_{x\to \infty}\left(1-\frac{2}{3x}\right)^{x+3} = \lim\limits_{x\to \infty}\left(1+\frac{1}{(-3x/2)}\right)^{\frac{-3x/2}{-3x/2}(x+3)}= $$ $$ = \lim\limits_{x\to \infty}\left(\left(1+\frac{1}{(-3x/2)}\right)^{(-3x/2)}\right)^\frac{x+3}{-3x/2}= $$

Выражение в скобках фактически и есть второй замечательный предел $\lim\limits_{t\to \infty} \left(1+\frac{1}{t}\right)^{t}=e$, только $t=-3x/2$, поэтому

$$ = \lim\limits_{x\to \infty}\left(e\right)^\frac{x+3}{-3x/2}= \lim\limits_{x\to \infty}e^\frac{1+3/x}{-3/2}=e^{-2/3}. $$

Ответ: $e^{-2/3}$.

Пример 5. Найти предел $$\lim\limits_{x\to \infty}\left(\frac{x^3+2x^2+1}{x^3+x-7}\right)^{x}.$$

Решение. Подставляем $x=\infty$ в функцию и получаем неопределенность вида $\left[ \frac{\infty}{\infty}\right]$. А нам нужно $\left$. Поэтому начнем с преобразования выражения в скобках:

$$ \lim\limits_{x\to \infty}\left(\frac{x^3+2x^2+1}{x^3+x-7}\right)^{x} = \lim\limits_{x\to \infty}\left(\frac{x^3+(x-7)-(x-7)+2x^2+1}{x^3+x-7}\right)^{x} = \lim\limits_{x\to \infty}\left(\frac{(x^3+x-7)+(-x+7+2x^2+1)}{x^3+x-7}\right)^{x} = $$ $$ = \lim\limits_{x\to \infty}\left(1+\frac{2x^2-x+8}{x^3+x-7}\right)^{x} = \lim\limits_{x\to \infty}\left(\left(1+\frac{2x^2-x+8}{x^3+x-7}\right)^{\frac{x^3+x-7}{2x^2-x+8}}\right)^{x \frac{2x^2-x+8}{x^3+x-7}}= $$

Выражение в скобках фактически и есть второй замечательный предел $\lim\limits_{t\to \infty} \left(1+\frac{1}{t}\right)^{t}=e$, только $t=\frac{x^3+x-7}{2x^2-x+8} \to \infty$, поэтому

$$ = \lim\limits_{x\to \infty}\left(e\right)^{x \frac{2x^2-x+8}{x^3+x-7}}= \lim\limits_{x\to \infty}e^{ \frac{2x^2-x+8}{x^2+1-7/x}}= \lim\limits_{x\to \infty}e^{ \frac{2-1/x+8/x^2}{1+1/x^2-7/x^3}}=e^{2}. $$

Первый замечательный предел часто применяется для вычисления пределов содержащих синус, арксинус, тангенс, арктангенс и получающихся при них неопределенностей ноль делить на ноль.

Формула

Формула первого замечательного предела имеет вид: $$ \lim_{\alpha\to 0} \frac{\sin\alpha}{\alpha} = 1 $$

Замечаем, что при $ \alpha\to 0 $ получается $ \sin\alpha \to 0 $, тем самым в числетеле и в знаменателе имеем нули. Таким образом формула первого замечательного предела нужна для раскрытия неопределенностей $ \frac{0}{0} $.

Для применения формулы необходимо, чтобы были соблюдены два условия:

Выражения, содержащиеся в синусе и знаменателе дроби совпадают
Выражения, стоящие в синусе и знаменателе дроби стремятся к нулю

Внимание! $ \lim_{x\to 0} \frac{\sin(2x^2+1)}{2x^2+1} \neq 1 $ Хотя выражения под синусом и в знаменателе одинаковые, однако $ 2x^2+1 = 1 $, при $ x\to 0 $. Не выполнено второе условие, поэтому применять формулу НЕЛЬЗЯ!

Следствия

Достаточно редко в задания можно увидеть чистый первый замечательный предел, в котором можно сразу было бы записать ответ. На практике всё немного сложнее выглядит, но для таких случаев будет полезно знать следствия первого замечательного предела. Благодаря им можно быстро вычислить нужные пределы.

$$ \lim_{\alpha\to 0} \frac{\alpha}{\sin\alpha} = 1 $$

$$ \lim_{\alpha\to 0} \frac{\sin(a\alpha)}{\sin(b\alpha)} = \frac{a}{b} $$

$$ \lim_{\alpha\to 0} \frac{tg\alpha}{\alpha} = 1 $$

$$ \lim_{\alpha\to 0} \frac{\arcsin\alpha}{\alpha} = 1 $$

$$ \lim_{\alpha\to 0} \frac{arctg\alpha}{\alpha} = 1 $$

Примеры решений

Рассмотрим первый замечательный предел, примеры решения которого на вычисление пределов содержащих тригонометрические функции и неопределенность $ \bigg[\frac{0}{0}\bigg] $

Пример 1
Вычислить $ \lim_{x\to 0} \frac{\sin2x}{4x} $
Решение
Рассмотрим предел и заметим, что в нём присутствует синус. Далее подставим $ x = 0 $ в числитель и знаменатель и получим неопределенность нуль делить на нуль: $$ \lim_{x\to 0} \frac{\sin2x}{4x} = \frac{0}{0} $$ Уже два признака того, что нужно применять замечательный предел, но есть небольшой нюанс: сразу применить формулу мы не сможем, так как выражение под знаком синуса отличается от выражения стоящего в знаменателе. А нам нужно, чтобы они были равны. Поэтому с помощью элементарных преобразований числителя мы превратим его в $ 2x $. Для этого мы вынесем двойку из знаменателя дроби отдельным множителем. Выглядит это так: $$ \lim_{x\to 0} \frac{\sin2x}{4x} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin2x}{2\cdot 2x} = $$ $$ = \frac{1}{2} \lim_{x\to 0} \frac{\sin2x}{2x} = \frac{1}{2}\cdot 1 = \frac{1}{2} $$ Обратите внимание, что в конце $ \lim_{x\to 0} \frac{\sin2x}{2x} = 1 $ получилось по формуле. Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Ответ
$$ \lim_{x\to 0} \frac{\sin2x}{4x} =\frac{1}{2} $$

Пример 2
Найти $ \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x^3+2x)}{2x-x^4} $
Решение
Как всегда сначала нужно узнать тип неопределенности. Если она нуль делить на нуль, то обращаем внимание на наличие синуса: $$ \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x^3+2x)}{2x-x^4} = \frac{0}{0} = $$ Данная неопределенность позволяет воспользоваться формулой первого замечательного предела, но выражение из знаменателя не равно аргументу синуса? Поэтом "в лоб" применить формулу нельзя. Необходимо умножить и разделить дробь на аргумент синуса: $$ = \lim_{x\to 0} \frac{(x^3+2x)\sin(x^3+2x)}{(2x-x^4)(x^3+2x)} = $$ Теперь по свойствам пределов расписываем: $$ = \lim_{x\to 0} \frac{(x^3+2x)}{2x-x^4}\cdot \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x^3+2x)}{(x^3+2x)} = $$ Второй предел как раз подходит под формулу и равен единице: $$ = \lim_{x\to 0} \frac{x^3+2x}{2x-x^4}\cdot 1 = \lim_{x\to 0} \frac{x^3+2x}{2x-x^4} = $$ Снова подставляем $ x = 0 $ в дробь и получаем неопределенность $ \frac{0}{0} $. Для её устранения достоточно вынести за скобки $ x $ и сократить на него: $$ = \lim_{x\to 0} \frac{x(x^2+2)}{x(2-x^3)} = \lim_{x\to 0} \frac{x^2+2}{2-x^3} = $$ $$ = \frac{0^2 + 2}{2 - 0^3} = \frac{2}{2} = 1 $$
Ответ
$$ \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x^3+2x)}{2x-x^4} = 1 $$

Пример 4
Вычислить $ \lim_{x\to0} \frac{\sin2x}{tg3x} $
Решение
Вычисление начнём с подстановки $ x=0 $. В результате получаем неопределенность $ \frac{0}{0} $. Предел содержит синус и тангенс, что намекает на возможное развитие ситуации с использованием формулы первого замечательного предела. Преобразуем числитель и знаменатель дроби под формулу и следствие: $$ \lim_{x\to0} \frac{\sin2x}{tg3x} = \frac{0}{0} = \lim_{x\to0} \frac{\frac{\sin2x}{2x}\cdot 2x}{\frac{tg3x}{3x}\cdot 3x} = $$ Теперь видим в числителе и знаменателе появились выражения подходящие под формулу и следствия. Аргумент синуса и аргумент тангенса совпадают для соответствующих знаменателей $$ = \lim_{x\to0} \frac{1\cdot 2x}{1\cdot 3x} = \frac{2}{3} $$
Ответ
$$ \lim_{x\to0} \frac{\sin2x}{tg2x} = \frac{2}{3} $$

В статье: "Первый замечательный предел, примеры решения" было рассказано о случаях, в которых целесообразно использовать данную формулу и её следствия.

Данная статья: «Второй замечательный предел» посвящена раскрытию в пределах неопределенностей вида:

$ \bigg[\frac{\infty}{\infty}\bigg]^\infty $ и $ ^\infty $.

Так же такие неопределенности можно раскрывать с помощью логарифмирования показательно-степенной функции, но это уже другой метод решения, о котором будет освещено в другой статье.

Формула и следствия

Формула второго замечательного предела записывается следующим образом: $$ \lim_{x \to \infty} \bigg (1+\frac{1}{x}\bigg)^x = e, \text{ где } e \approx 2.718 $$

Из формулы вытекают следствия , которые очень удобно применять для решения примеров с пределами: $$ \lim_{x \to \infty} \bigg (1 + \frac{k}{x} \bigg)^x = e^k, \text{ где } k \in \mathbb{R} $$ $$ \lim_{x \to \infty} \bigg (1 + \frac{1}{f(x)} \bigg)^{f(x)} = e $$ $$ \lim_{x \to 0} \bigg (1 + x \bigg)^\frac{1}{x} = e $$

Стоить заметить, что второй замечательный предел можно применять не всегда к показательно-степенной функции, а только в случаях когда основание стремится к единице. Для этого сначала в уме вычисляют предел основания, а затем уже делают выводы. Всё это будет рассмотрено в примерах решений.

Примеры решений

Рассмотрим примеры решений с использованием прямой формулы и её следствий. Так же разберем случаи, при которых формула не нужна. Достаточно записать только готовый ответ.

Пример 1
Найти предел $ \lim_{x\to\infty} \bigg(\frac{x+4}{x+3} \bigg)^{x+3} $
Решение
Подставим бесконечность в предел и посмотрим на неопределенность: $$ \lim_{x\to\infty} \bigg(\frac{x+4}{x+3} \bigg)^{x+3} = \bigg(\frac{\infty}{\infty}\bigg)^\infty $$ Найдем предел основания: $$ \lim_{x\to\infty} \frac{x+4}{x+3}= \lim_{x\to\infty} \frac{x(1+\frac{4}{x})}{x(1+\frac{3}{x})} = 1 $$ Получили основание равное единице, а это значит уже можно применить второй замечательный предел. Для этого подгоним основание функции под формулу путем вычитания и прибавления единицы: $$ \lim_{x\to\infty} \bigg(1 + \frac{x+4}{x+3} - 1 \bigg)^{x+3} = \lim_{x\to\infty} \bigg(1 + \frac{1}{x+3} \bigg)^{x+3} = $$ Смотрим на второе следствие и записываем ответ: $$ \lim_{x\to\infty} \bigg(1 + \frac{1}{x+3} \bigg)^{x+3} = e $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Ответ
$$ \lim_{x\to\infty} \bigg(1 + \frac{1}{x+3} \bigg)^{x+3} = e $$

Пример 4
Решить предел $ \lim_{x\to \infty} \bigg (\frac{3x^2+4}{3x^2-2} \bigg) ^{3x} $
Решение
Находим предел основания и видим, что $ \lim_{x\to\infty} \frac{3x^2+4}{3x^2-2} = 1 $, значит можно применить второй замечательный предел. Стандартно по плану прибавляем и вычитаем единицу из основания степени: $$ \lim_{x\to \infty} \bigg (1+\frac{3x^2+4}{3x^2-2}-1 \bigg) ^{3x} = \lim_{x\to \infty} \bigg (1+\frac{6}{3x^2-2} \bigg) ^{3x} = $$ Подгоняем дробь под формулу 2-го замеч. предела: $$ = \lim_{x\to \infty} \bigg (1+\frac{1}{\frac{3x^2-2}{6}} \bigg) ^{3x} = $$ Теперь подгоняем степень. В степени должна быть дробь равная знаменателю основания $ \frac{3x^2-2}{6} $. Для этого умножим и разделим степень на неё, и продолжим решать: $$ = \lim_{x\to \infty} \bigg (1+\frac{1}{\frac{3x^2-2}{6}} \bigg) ^{\frac{3x^2-2}{6} \cdot \frac{6}{3x^2-2}\cdot 3x} = \lim_{x\to \infty} e^{\frac{18x}{3x^2-2}} = $$ Предел, расположенный в степени при $ e $ равен: $ \lim_{x\to \infty} \frac{18x}{3x^2-2} = 0 $. Поэтому продолжая решение имеем:
Ответ
$$ \lim_{x\to \infty} \bigg (\frac{3x^2+4}{3x^2-2} \bigg) ^{3x} = 1 $$

Разберем случаи, когда задача похожа на второй замечательный предел, но решается без него.

В статье: «Второй замечательный предел: примеры решений» была разобрана формула, её следствия и приведены частые типы задач по этой теме.

Доказательство:

Докажем вначале теорему для случая последовательности

По формуле бинома Ньютона:

Полагая получим

Из данного равенства (1) следует, что с увеличением n число положительных слагаемых в правой части увеличивается. Кроме того, при увеличении n число убывает, поэтому величины возрастают. Поэтому последовательность возрастающая, при этом (2)*Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства на единицу, правая часть увеличится, получим неравенство

Усилим полученное неравенство, заменим 3,4,5, …, стоящие в знаменателях дробей, числом 2: Сумму в скобке найдём по формуле суммы членов геометрической прогрессии: Поэтому (3)*

Итак, последовательность ограничена сверху, при этом выполняются неравенства (2) и (3): Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса (критерий сходимости последовательности) последовательность монотонно возрастает и ограниченна, значит имеет предел, обозначаемый буквой e. Т.е.

Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, то есть докажем, что . Рассмотрим два случая:

1. Пусть Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: ,где - это целая часть x. => =>

Если ,то Поэтому, согласно пределу Имеем

По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов

2. Пусть . Сделаем подстановку − x = t, тогда

Из двух этих случаев вытекает, что для вещественного x.

Следствия:

9 .) Сравнение бесконечно малых. Теорема о замене бесконечно малых на эквивалентные в пределе и теорема о главной части бесконечно малых.

Пусть функции a(x ) и b(x ) – б.м. при x ® x 0 .

ОПРЕДЕЛЕНИЯ.

1) a(x ) называется бесконечно малой более высокого порядка чем b(x ) если

Записывают: a(x ) = o(b(x )) .

2) a(x ) и b(x ) называются бесконечно малыми одного порядка , если

где С Îℝ и C ¹ 0 .

Записывают: a(x ) = O (b(x )) .

3) a(x ) и b(x ) называются эквивалентными , если

Записывают: a(x ) ~ b(x ).

4) a(x ) называется бесконечно малой порядка k относи-
тельно бесконечно малой b(x ), если бесконечно малые a(x ) и (b(x )) k имеют один порядок, т.е. если

где С Îℝ и C ¹ 0 .

ТЕОРЕМА 6 (о замене бесконечно малых на эквивалентные).

Пусть a(x ), b(x ), a 1 (x ), b 1 (x ) – б.м. при x ® x 0 . Если a(x ) ~ a 1 (x ), b(x ) ~ b 1 (x ),

то

Доказательство: Пусть a(x ) ~ a 1 (x ), b(x ) ~ b 1 (x ), тогда

ТЕОРЕМА 7 (о главной части бесконечно малой).

Пусть a(x ) и b(x ) – б.м. при x ® x 0 , причем b(x ) – б.м. более высокого порядка чем a(x ).

= , a так как b(x )– более высокого порядка чем a(x ) ,то , т.е. из ясно, что a(x ) + b(x ) ~ a(x )

10) Непрерывность функции в точке(на языке пределов эпсилон-дельта,геометрическое) Односторонняя непрерывность. Непрерывность на интервале, на отрезке. Свойства непрерывных функций.

1. Основные определения

Пусть f (x ) определена в некоторой окрестности точки x 0 .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция f (x ) называется непрерывной в точке x 0 если справедливо равенство

Замечания .

1) В силу теоремы 5 §3 равенство (1) можно записать в виде

Условие (2) – определение непрерывности функции в точке на языке односторонних пределов .

2) Равенство (1) можно также записать в виде:

Говорят: «если функция непрерывна в точке x 0 , то знак предела и функцию можно поменять местами».

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2 (на языке e-d).

Функция f (x ) называется непрерывной в точке x 0 если "e>0 $d>0 такое , что

если x ÎU(x 0 , d) (т.е. | x – x 0 | < d),

то f (x )ÎU(f (x 0), e) (т.е. | f (x ) – f (x 0) | < e).

Пусть x , x 0 Î D (f ) (x 0 – фиксированная, x – произвольная)

Обозначим: Dx = x – x 0 – приращение аргумента

Df (x 0) = f (x ) – f (x 0) – приращение функции в точкеx 0

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3 (геометрическое).

Функция f (x ) называетсянепрерывной в точке x 0 если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции , т.е.

Пусть функция f (x ) определена на промежутке [x 0 ; x 0 + d) (на промежутке (x 0 – d; x 0 ]).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция f (x ) называется непрерывной в точке x 0 справа (слева ), если справедливо равенство

Очевидно, что f (x ) непрерывна в точке x 0 Û f (x ) непрерывна в точке x 0 справа и слева.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция f (x ) называется непрерывной на интервал е (a ; b ) если она непрерывна в каждой точке этого интервала .

Функция f (x ) называется непрерывной на отрезке [a ; b ] если она непрерывна на интервале (a ; b ) и имеет одностороннюю непрерывность в граничных точках (т.е. непрерывна в точке a справа, в точке b – слева).

11) Точки разрыва, их классификация

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если функция f (x ) определена в некоторой окрестности точки x 0 , но не является непрерывной в этой точке, то f (x ) называют разрывной в точке x 0 , а саму точку x 0 называют точкой разрыва функции f (x ) .

Замечания .

1) f (x ) может быть определена в неполной окрестности точки x 0 .

Тогда рассматривают соответствующую одностороннюю непрерывность функции.

2) Из определения Þ точка x 0 является точкой разрыва функции f (x ) в двух случаях:

а) U(x 0 , d)ÎD (f ) , но для f (x ) не выполняется равенство

б) U * (x 0 , d)ÎD (f ) .

Для элементарных функций возможен только случай б).

Пусть x 0 – точка разрыва функции f (x ) .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка x 0 называется точкой разрыва I рода если функция f (x ) имеет в этой точке конечные пределы слева и справа .

Если при этом эти пределы равны, то точка x 0 называется точкой устранимого разрыва , в противном случае – точкой скачка .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка x 0 называется точкой разрыва II рода если хотя бы один из односторонних пределов функции f (x ) в этой точке равен ¥ или не существует .

12) Свойства функций, непрерывных на отрезке (теоремы Вейерштрасса(без док-ва) и Коши

Теорема Вейерштрасса

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке , тогда

1)f(x)ограничена на

2)f(x) принимает на промежутке своё наименьшее и наибольшее значение

Определение : Значение функции m=fзовется наименьшим, если m≤f(x) для любого x€ D(f).

Значение функции m=fзовется наибольшим, если m≥f(x) для любого x€ D(f).

Наименьшее\наибольшее значение функция может принимать в нескольких точках отрезка.

f(x 3)=f(x 4)=max

Теорема Коши.

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке и х – число, заключенное между f(a) и f(b),тогда существует хотя бы одна точка х 0 € такая, что f(x 0)= g