Примеры решения уравнений с корнями. Как решать уравнения с корнями: решение уравнений с корнем

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Куединская средняя общеобразовательная школа №2»

Способы решения иррациональных уравнений

Выполнила: Егорова Ольга,

Руководитель:

Учитель

математики,

высшей квалификационной

Введение ....……………………………………………………………………………………… 3

Раздел 1. Методы решения иррациональных уравнений …………………………………6

1.1 Решение иррациональных уравнений части С……….….….……………………21

Раздел 2.Индивидуальные задания …………………………………………….....………...24

Ответы ………………………………………………………………………………………….25

Список Литературы …….…………………………………………………………………….26

Введение

Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека. Практически все, что окружает современного человека – это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать. Одним из этих видов являются иррациональные уравнения.

Иррациональные уравнения

Уравнение, содержащее неизвестное (либо рациональное алгебраическое выражение от неизвестного) под знаком радикала, называют иррациональным уравнением . В элементарной математике решения иррациональных уравнений отыскивается в множестве действительных чисел.

Всякое иррациональное уравнение с помощью элементарных алгебраических операций (умножение, деление, возведение в целую степень обеих частей уравнения) может быть сведено к рациональному алгебраическому уравнению. При этом следует иметь в виду, что полученное рациональное алгебраическое уравнение может оказаться неэквивалентным исходному иррациональному уравнению, а именно может содержать "лишние" корни, которые не будут корнями исходного иррационального уравнения. Поэтому, найдя корни полученного рационального алгебраического уравнения, необходимо проверить, а будут ли все корни рационального уравнения корнями иррационального уравнения.

В общем случае трудно указать какой-либо универсальный метод решения любого иррационального уравнения, так как желательно, чтобы в результате преобразований исходного иррационального уравнения получилось не просто какое-то рациональное алгебраическое уравнение, среди корней которого будут и корни данного иррационального уравнения, а рациональное алгебраическое уравнение образованное из многочленов как можно меньшей степени. Желание получить то рациональное алгебраическое уравнение, образованное из многочленов как можно меньшей степени, вполне естественно, так как нахождение всех корней рационального алгебраического уравнения само по себе может оказаться довольно трудной задачей, решить которую полностью мы можем лишь в весьма ограниченном числе случаев.

Виды иррациональных уравнений

Решение иррациональных уравнений четной степени всегда вызывает больше проблем, чем решение иррациональных уравнений нечетной степени. При решении иррациональных уравнений нечетной степени изменение ОДЗ не происходит. Поэтому ниже будут рассматриваться иррациональные уравнения, степень которых является четной. Существует два вида иррациональных уравнений:

2..

Рассмотрим первый из них.

ОДЗ уравнения: f(x) ≥ 0. В ОДЗ левая часть уравнения всегда неотрицательна – поэтому решение может существовать только тогда, когда g(x) ≥ 0. В этом случае обе части уравнения неотрицательны, и возведение в степень 2 n дает равносильное уравнение. Мы получаем, что

Обратим внимание на то, что при этомОДЗ выполняется автоматически, и его можно не писать, а условие g(x) ≥ 0 необходимо проверять.

Примечание: Это очень важное условие равносильности. Во-первых, оно освобождает учащегося от необходимости исследовать, а после нахождения решений проверять условие f(x) ≥ 0 – неотрицательности подкоренного выражения. Во-вторых, акцентирует внимание на проверке условия g(x) ≥ 0 – неотрицательности правой части. Ведь после возведения в квадрат решается уравнение т. е. решаются сразу два уравнения (но на разных промежутках числовой оси!):

1. - там, где g(x) ≥ 0 и

2. - там, где g(x) ≤ 0.

Между тем многие, по школьной привычке находить ОДЗ, поступают при решении таких уравнений ровно наоборот:

а) проверяют, после нахождения решений, условие f(x) ≥ 0 (которое автоматически выполнено), делают при этом арифметические ошибки и получают неверный результат;

б) игнорируют условие g(x) ≥ 0 - и опять ответ может оказаться неверным.

Примечание: Условие равносильности особенно полезно при решении тригонометрических уравнений, в которых нахождение ОДЗ связано с решение тригонометрических неравенств, что гораздо сложнее, чем решение тригонометрических уравнений. Проверку в тригонометрических уравнениях даже условия g(x) ≥ 0 не всегда просто сделать.

Рассмотрим второй вид иррациональных уравнений.

. Пусть задано уравнение . Его ОДЗ:

В ОДЗ обе части неотрицательны, и возведение в квадрат дает равносильное уравнение f(x) = g(x). Поэтому в ОДЗ или

При таком способе решения достаточно проверить неотрицательность одной из функций – можно выбрать более простую.

Раздел 1. Методы решения иррациональных уравнений

1 метод. Освобождение от радикалов путем последовательного возведения обеих частей уравнения в соответствующую натуральную степень

Наиболее часто применяемым методом решения иррациональных уравнений является метод освобождения от радикалов путем последовательного возведения обеих частей уравнения в соответствующую натуральную степень. При этом следует иметь в виду, что при возведении обеих частей уравнения в нечетную степень полученное уравнение, эквивалентное исходному, а при возведении обеих частей уравнения в четную степень полученное уравнение будет, вообще говоря, неэквивалентным исходному уравнению. В этом легко убедиться, возведя обе части уравнения в любую четную степень. В результате этой операции получается уравнение , множество решений которого представляет собой объединение множеств решений: https://pandia.ru/text/78/021/images/image013_50.gif" width="95" height="21 src=">. Однако, несмотря на этот недостаток, именно процедура возведения обеих частей уравнения в некоторую (часто четную) степень является самой распространенной процедурой сведения иррационального уравнения к рациональному уравнению.

Решить уравнение:

Где - некоторые многочлены. В силу определения операции извлечения корня в множестве действительных чисел допустимые значения неизвестного https://pandia.ru/text/78/021/images/image017_32.gif" width="123 height=21" height="21">..gif" width="243" height="28 src=">.

Так как обе части 1 уравнения возводились в квадрат, может оказаться, что не все корни 2 уравнения будет являться решениями исходного уравнения, необходима проверка корней.

Решить уравнение:

https://pandia.ru/text/78/021/images/image021_21.gif" width="137" height="25">

Возводя обе части уравнения в куб, получим

Учитывая, что https://pandia.ru/text/78/021/images/image024_19.gif" width="195" height="27">(Последнее уравнение может иметь корни, которые, вообще говоря, не являются корнями уравнения ).

Возводим обе части этого уравнения в куб: . Перепишем уравнение в виде х3 – х2 = 0 ↔ х1 = 0, х2 = 1. проверкой устанавливаем, что х1 = 0 – посторонний корень уравнения (-2 ≠ 1), а х2 = 1 удовлетворяет исходному уравнению.

Ответ: х = 1.

2 метод. Замена смежной системой условий

При решении иррациональных уравнений, содержащих радикалы четного порядка, в ответах могут появится посторонние корни, выявить которые не всегда просто. Чтобы легче было выявить и отбросить посторонние корни, в ходе решений иррациональных уравнений его сразу же заменяют смежной системой условий. Дополнительные неравенства в системе фактически учитывают ОДЗ решаемого уравнения. Можно находить ОДЗ отдельно и учитывать его позднее, однако предпочтительнее применять именно смешанные системы условий: меньше опасность что-то забыть, не учесть в процессе решения уравнения. Поэтому в некоторых случаях рациональнее использовать способ перехода к смешанным системам.

Решить уравнение:

Ответ: https://pandia.ru/text/78/021/images/image029_13.gif" width="109 height=27" height="27">

Данное уравнение равносильно системе

Ответ: уравнение решений не имеет.

3 метод. Использование свойств корня n-ой степени

При решении иррациональных уравнений используются свойства корня n-ой степени. Арифметическим корнем n- й степени из числа а называют неотрицательное число, n- я степень числа которого равна а . Если n – четное(2n ), то а ≥ 0, в противном случае корень не существует. Если n – нечетное(2 n+1 ), то а – любое и = - ..gif" width="45" height="19"> Тогда:

2.

3.

4.

5.

Применяя любую из этих формул, формально (без учета указанных ограничений), следует иметь ввиду, что ОДЗ левой и правой частей каждой из них могут быть различными. Например, выражение определено при f ≥ 0 и g ≥ 0 , а выражение - как при f ≥ 0 и g ≥ 0 , так и при f ≤ 0 и g ≤ 0.

Для каждой из формул 1-5 (без учета указанных ограничений) ОДЗ правой ее части может быть шире ОДЗ левой. Отсюда следует, что преобразования уравнения с формальным использованием формул 1-5 «слева - направо» (как они написаны) приводят к уравнению, являющемуся следствием исходного. В этом случае могут появится посторонние корни исходного уравнения, поэтому обязательным этапом в решении исходного уравнения является проверка.

Преобразования уравнений с формальным использованием формул 1-5 «справа – налево» недопустимы, так как возможно суждение ОДЗ исходного уравнения, а следовательно, и потеря корней.

https://pandia.ru/text/78/021/images/image041_8.gif" width="247" height="61 src=">,

являющееся следствием исходного. Решение этого уравнения сводится к решению совокупности уравнений .

Из первого уравнения этой совокупности находим https://pandia.ru/text/78/021/images/image044_7.gif" width="89" height="27"> откуда находим . Таким образом корнями данного уравнения могут быть только числа (-1) и (-2). Проверка показывает, что оба найденных корня удовлетворяют данному уравнению.

Ответ: -1,-2.

Решите уравнение: .

Решение: на основании тождеств первое слагаемое заменить на . Заметить, что как сумма двух неотрицательных чисел левой части. «Снять» модуль и после приведения подобных членов решить уравнение. Так как , то получаем уравнение . Так как и , то и https://pandia.ru/text/78/021/images/image055_6.gif" width="89" height="27 src=">.gif" width="39" height="19 src=">.gif" width="145" height="21 src=">

Ответ: х = 4,25.

4 метод. Введения новых переменных

Другим примером решения иррациональных уравнений является способ введения новых переменных, относительно которых получается либо более простое иррациональное уравнение, либо рациональное уравнение.

Решение иррациональных уравнений путем замены уравнения его следствием (с последующей проверкой корней) можно проводить следующим образом:

1. Найти ОДЗ исходного уравнения.

2. Перейти от уравнения к его следствию.

3. Найти корни полученного уравнения.

4. Проверить, являются ли найденные корни корнями исходного уравнения.

Проверка состоит в следующем:

А) проверяется принадлежность каждого найденного корня ОДЗ исходного уравнения. Те корни, которые не принадлежат ОДЗ, являются посторонними для исходного уравнения.

Б) для каждого корня, входящего в ОДЗ исходного уравнения, проверяется, имеют ли одинаковые знаки левая и правая части каждого из уравнений, возникающих в процессе решения исходного уравнения и возводимых в четную степень. Те корни, для которых части какого-либо возводимого в четную степень уравнения имеют разные знаки, являются посторонними для исходного уравнения.

В) только те корни, которые принадлежат ОДЗ исходного уравнения и для которых обе части каждого из уравнений, возникающих в процессе решения исходного уравнения и возводимых в четную степень, имеют одинаковые знаки, проверяются непосредственной подстановкой в исходное уравнение.

Такой метод решения с указанным способом проверки позволяет избежать громоздких вычислений в случае непосредственной подстановки каждого из найденных корней последнего уравнения в исходное.

Решить иррациональное уравнение:

.

Множество допустимых значений этого уравнения:

Положив , после подстановки получим уравнение

или эквивалентное ему уравнение

которое можно рассматривать как квадратное уравнение относительно. Решая это уравнение, получим

.

Следовательно, множество решений исходного иррационального уравнения представляет собой объединение множеств решений следующих двух уравнений:

, .

Возведя обе части каждого из этих уравнений в куб, получим два рациональных алгебраических уравнения:

, .

Решая эти уравнения, находим, что данное иррациональное уравнение имеет единственный корень х = 2 (проверка не требуется, так как все преобразования равносильны).

Ответ: х = 2.

Решить иррациональное уравнение:

Обозначим 2x2 + 5x – 2 = t. Тогда исходное уравнение примет вид . Возведя обе части полученного уравнения в квадрат и приведя подобные члены, получим уравнение , являющееся следствием предыдущего. Из него находим t = 16 .

Возвращаясь к неизвестному х, получим уравнение 2x2 + 5x – 2 = 16, являющееся следствием исходного. Проверкой убеждаемся, что его корни х1 = 2 и х2 = - 9/2 являются корнями исходного уравнения.

Ответ: х1 = 2, х2 = -9/2.

5 метод. Тождественное преобразование уравнения

При решении иррациональных уравнений не следует начинать решение уравнение с возведения обеих частей уравнений в натуральную степень, пытаясь свести решение иррационального уравнения к решению рационального алгебраического уравнения. Сначала необходимо посмотреть, нельзя ли сделать какое-нибудь тождественное преобразование уравнения, которое может существенно упростить его решение.

Решить уравнение:

Множество допустимых значений данного уравнения:https://pandia.ru/text/78/021/images/image074_1.gif" width="292" height="45"> Разделим данное уравнение на .

.

Получим:

При а =0 уравнение решений иметь не будет; при уравнение может быть записано в виде

при данное уравнение решений не имеет, так как при любом х , принадлежащем множеству допустимых значений уравнения, выражение, стоящее в левой части уравнения, положительно;

при уравнение имеет решение

Принимая во внимание, что множество допустимых решений уравнения определяется условием , получаем окончательно:

При решением этого иррационального уравнения будет https://pandia.ru/text/78/021/images/image084_2.gif" width="60" height="19"> решением уравнения будет . При всех остальных значениях х уравнение решений не имеет.

ПРИМЕР 10:

Решить иррациональное уравнение: https://pandia.ru/text/78/021/images/image086_2.gif" width="381" height="51">

Решение квадратного уравнения системы дает два корня: х1 = 1 и х2 = 4. первый из полученных корней не удовлетворяет неравенству системы, поэтому х = 4.

Примечания.

1) Проведение тождественных преобразований позволяет обходиться без проверки.

2) Неравенство х – 3 ≥0 относится к тождественным преобразованиям, а не к области определения уравнения.

3) В левой части уравнения стоит убывающая функция, а в правой части этого уравнения расположена возрастающая функция. Графики убывающей и возрастающей функций в пересечении их областей определения могут иметь не больше одной общей точки. Очевидно, что в нашем случае х = 4 является абсциссой точки пересечения графиков.

Ответ: х = 4.

6 метод. Использование области определения функций при решении уравнений

Этот метод наиболее результативен при решении уравнений, в состав которых входят функции https://pandia.ru/text/78/021/images/image088_2.gif" width="36" height="21 src="> и найти ее область определения (f) ..gif" width="53" height="21">.gif" width="88" height="21 src=">, то нужно проверить верно ли уравнение на концах промежутка, причем, если а < 0, а b > 0, то необходима проверка на промежутках (а;0) и . Наименьшее целое число в Е(у) равно 3.

Ответ : х = 3.

8 метод. Применение производной при решении иррациональных уравнений

Чаще всего при решении уравнений с помощью метода применения производной используется метод оценки.

ПРИМЕР 15:

Решите уравнение: (1)

Решение: Так как https://pandia.ru/text/78/021/images/image122_1.gif" width="371" height="29">, или (2). Рассмотрим функцию ..gif" width="400" height="23 src=">.gif" width="215" height="49"> при всех и, следовательно, возрастает. Поэтому уравнение равносильно уравнению , имеющему корень , являющимся корнем исходного уравнения.

Ответ:

ПРИМЕР 16:

Решить иррациональное уравнение:

Область определения функции есть отрезок . Найдем наибольшее и наименьшее значение значения этой функции на отрезке . Для этого найдем производную функции f(x) : https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37 height=19" height="19">. Найдем значения функции f(x) на концах отрезка и в точке : Значит, Но и, следовательно, равенство возможно лишь при условииhttps://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37" height="19 src=">. Проверка показывает, что число 3 – корень данного уравнения.

Ответ: х = 3.

9 метод. Функциональный

На экзаменах иногда предлагают решить уравнения, которые можно записать в виде , где - это некоторая функция.

Например, некоторые уравнения: 1) 2) . Действительно, в первом случае , во втором случае . Поэтому решать иррациональные уравнения с помощью следующего утверждения: если функция строго возрастает на множестве Х и для любого , то уравнения и т. д. равносильны на множестве Х .

Решить иррациональное уравнение: https://pandia.ru/text/78/021/images/image145_1.gif" width="103" height="25"> строго возрастает на множестве R, и https://pandia.ru/text/78/021/images/image153_1.gif" width="45" height="24 src=">..gif" width="104" height="24 src="> которое имеет единственный корень Следовательно, и равносильное ему уравнение (1) также имеет единственный корень

Ответ: х = 3.

ПРИМЕР 18:

Решить иррациональное уравнение: (1)

В силу определения квадратного корня получаем, что если уравнение (1) имеет корни, то они принадлежат множеству https://pandia.ru/text/78/021/images/image159_0.gif" width="163" height="47">. (2)

Рассмотрим функцию https://pandia.ru/text/78/021/images/image147_1.gif" width="35" height="21"> строго возрастает на этом множестве для любого ..gif" width="100" height="41"> которое имеет единственный корень Следовательно, и равносильное ему на множестве Х уравнение (1) имеет единственный корень

Ответ: https://pandia.ru/text/78/021/images/image165_0.gif" width="145" height="27 src=">

Решение: Данное уравнение равносильно смешанной системе

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Довольно часто в уравнениях встречается знак корня и многие ошибочно считают, что такие уравнения сложные в решении. Для таких уравнений в математике существует специальный термин, которым и именуют уравнения с корнем - иррациональные уравнения.

Главным отличием в решении уравнений с корнем от других уравнений, например, квадратных, логарифмических, линейных, является то, что они не имеют стандартного алгоритма решения. Поэтому чтобы решить иррациональное уравнение необходимо проанализировать исходные данные и выбрать более подходящий вариант решения.

В большинстве случаев для решения данного рода уравнений используют метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень

Допустим, дано следующее уравнение:

\[\sqrt{(5x-16)}=x-2\]

Возводим обе части уравнения в квадрат:

\[\sqrt{(5х-16))}^2 =(x-2)^2\], откуда последовательно получаем:

Получив квадратное уравнение, находим его корни:

Ответ: \

Если выполнить подстановку данных значений в уравнение, то получим верное равенство, что говорит о правильности полученных данных.

Где можно решить уравнение с корнями онлайн решателем?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://сайт. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

Приложение

Решение любого типа уравнений онлайн на сайт для закрепления изученного материала студентами и школьниками.. Решение уравнений онлайн. Уравнения онлайн. Различают алгебраические, параметрические, трансцендентные, функциональные, дифференциальные и другие виды уравнений.. Некоторые классы уравнений имеют аналитические решения, которые удобны тем, что не только дают точное значение корня, а позволяют записать решение в виде формулы, в которую могут входить параметры. Аналитические выражения позволяют не только вычислить корни, а провести анализ их существования и их количества в зависимости от значений параметров, что часто бывает даже важнее для практического применения, чем конкретные значения корней. Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн. Решение уравнения - задача по нахождению таких значений аргументов, при которых это равенство достигается. На возможные значения аргументов могут быть наложены дополнительные условия (целочисленности, вещественности и т. д.). Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн. Вы сможете решить уравнение онлайн моментально и с высокой точностью результата. Аргументы заданных функций (иногда называются «переменными») в случае уравнения называются «неизвестными». Значения неизвестных, при которых это равенство достигается, называются решениями или корнями данного уравнения. Про корни говорят, что они удовлетворяют данному уравнению. Решить уравнение онлайн означает найти множество всех его решений (корней) или доказать, что корней нет. Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн. Равносильными или эквивалентными называются уравнения, множества корней которых совпадают. Равносильными также считаются уравнения, которые не имеют корней. Эквивалентность уравнений имеет свойство симметричности: если одно уравнение эквивалентно другому, то второе уравнение эквивалентно первому. Эквивалентность уравнений имеет свойство транзитивности: если одно уравнение эквивалентно другому, а второе эквивалентно третьему, то первое уравнение эквивалентно третьему. Свойство эквивалентности уравнений позволяет проводить с ними преобразования, на которых основываются методы их решения. Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн. Сайт позволит решить уравнение онлайн. К уравнениям, для которых известны аналитические решения, относятся алгебраические уравнения, не выше четвёртой степени: линейное уравнение, квадратное уравнение, кубическое уравнение и уравнение четвёртой степени. Алгебраические уравнения высших степеней в общем случае аналитического решения не имеют, хотя некоторые из них можно свести к уравнениям низших степеней. Уравнения, в которые входят трансцендентные функции называются трансцендентными. Среди них аналитические решения известны для некоторых тригонометрических уравнений, поскольку нули тригонометрических функций хорошо известны. В общем случае, когда аналитического решения найти не удаётся, применяют численные методы. Численные методы не дают точного решения, а только позволяют сузить интервал, в котором лежит корень, до определённого заранее заданного значения. Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн.. Вместо уравнения онлайн мы представим, как то же самое выражение образует линейную зависимость и не только по прямой касательной, но и в самой точке перегиба графика. Этот метод незаменим во все времена изучения предмета. Часто бывает, что решение уравнений приближается к итоговому значению посредством бесконечных чисел и записи векторов. Проверить начальные данные необходимо и в этом суть задания. Иначе локальное условие преобразуется в формулу. Инверсия по прямой от заданной функции, которую вычислит калькулятор уравнений без особой задержки в исполнении, взаимозачету послужит привилегия пространства. Речь пойдет о студентах успеваемости в научной среде. Впрочем, как и все вышесказанное, нам поможет в процессе нахождения и когда вы решите уравнение полностью, то полученный ответ сохраните на концах отрезка прямой. Линии в пространстве пересекаются в точке и эта точка называется пересекаемой линиями. Обозначен интервал на прямой как задано ранее. Высший пост на изучение математики будет опубликован. Назначить значению аргумента от параметрически заданной поверхности и решить уравнение онлайн сможет обозначить принципы продуктивного обращения к функции. Лента Мебиуса, или как её называет бесконечностью, выглядит в форме восьмерки. Это односторонняя поверхность, а не двухсторонняя. По принципу общеизвестному всем мы объективно примем линейные уравнения за базовое обозначение как есть и в области исследования. Лишь два значения последовательно заданных аргументов способны выявить направление вектора. Предположить, что иное решение уравнений онлайн гораздо более, чем просто его решение, обозначает получение на выходе полноценного варианта инварианта. Без комплексного подхода студентам сложно обучиться данному материалу. По-прежнему для каждого особого случая наш удобный и умный калькулятор уравнений онлайн поможет всем в непростую минуту, ведь достаточно лишь указать вводные параметры и система сама рассчитает ответ. Перед тем, как начать вводить данные, нам понадобится инструмент ввода, что можно сделать без особых затруднений. Номер каждой ответной оценки будет квадратное уравнение приводить к нашим выводам, но этого сделать не так просто, потому что легко доказать обратное. Теория, в силу своих особенностей, не подкреплена практическими знаниями. Увидеть калькулятор дробей на стадии опубликования ответа, задача в математике не из легких, поскольку альтернатива записи числа на множестве способствует увеличению роста функции. Впрочем, не сказать про обучение студентов было бы некорректным, поэтому выскажем каждый столько, сколько этого необходимо сделать. Раньше найденное кубическое уравнение по праву будет принадлежать области определения, и содержать в себе пространство числовых значений, а также символьных переменных. Выучив или зазубрив теорему, наши студенты проявят себя только с лучшей стороны, и мы за них будем рады. В отличие от множества пересечений полей, наши уравнения онлайн описываются плоскостью движения по перемножению двух и трех числовых объединенных линий. Множество в математике определяется не однозначно. Лучшее, по мнению студентов, решение - это доведенная до конца запись выражения. Как было сказано научным языком, не входит абстракция символьных выражений в положение вещей, но решение уравнений дает однозначный результат во всех известных случаях. Продолжительность занятия преподавателя складывается из потребностей в этом предложении. Анализ показал как необходимость всех вычислительных приемов во многих сферах, и абсолютно ясно, что калькулятор уравнений незаменимый инструментарий в одаренных руках студента. Лояльный подход к изучению математики обуславливает важность взглядов разных направленностей. Хотите обозначить одну из ключевых теорем и решите уравнение так, в зависимости от ответа которого будет стоять дальнейшая потребность в его применении. Аналитика в данной области набирает все мощный оборот. Начнем с начала и выведем формулу. Пробив уровень возрастания функции, линия по касательной в точке перегиба обязательно приведет к тому, что решить уравнение онлайн будет одним из главных аспектов в построении того самого графика от аргумента функции. Любительский подход имеет право быть применен, если данное условие не противоречит выводам студентов. На задний план выводится именно та подзадача, которая ставит анализ математических условий как линейные уравнения в существующей области определения объекта. Взаимозачет по направлению ортогональности взаимоуменьшает преимущество одинокого абсолютного значения. По модулю решение уравнений онлайн дает столько же решений, если раскрыть скобки сначала со знаком плюс, а затем со знаком минус. В таком случае решений найдется в два раза больше, и результат будет точнее. Стабильный и правильный калькулятор уравнений онлайн есть успех в достижении намеченной цели в поставленной преподавателем задаче. Нужный метод выбрать представляется возможным благодаря существенным отличиям взглядов великих ученых. Полученное квадратное уравнение описывает кривую линий так называемую параболу, а знак определит ее выпуклость в квадратной системе координат. Из уравнения получим и дискриминант, и сами корни по теореме Виета. Представить выражение в виде правильной или неправильной дроби и применить калькулятор дробей необходимо на первом этапе. В зависимости от этого будет складываться план дальнейших наших вычислений. Математика при теоретическом подходе пригодится на каждом этапе. Результат обязательно представим как кубическое уравнение, потому что его корни скроем именно в этом выражении, для того, чтобы упростить задачу учащемуся в ВУЗе. Любые методы хороши, если они пригодны к поверхностному анализу. Лишние арифметические действия не приведут к погрешности вычислений. С заданной точностью определит ответ. Используя решение уравнений, скажем прямо - найти независимую переменную от заданной функции не так-то просто, особенно в период изучения параллельных линий на бесконечности. В виду исключения необходимость очень очевидна. Разность полярностей однозначна. Из опыта преподавания в институтах наш преподаватель вынес главный урок, на котором были изучены уравнения онлайн в полном математическом смысле. Здесь речь шла о высших усилиях и особых навыках применения теории. В пользу наших выводов не стоит глядеть сквозь призму. До позднего времени считалось, что замкнутое множество стремительно возрастает по области как есть и решение уравнений просто необходимо исследовать. На первом этапе мы не рассмотрели все возможные варианты, но такой подход обоснован как никогда. Лишние действия со скобками оправдывают некоторые продвижения по осям ординат и абсцисс, чего нельзя не заметить невооруженным глазом. В смысле обширного пропорционального возрастания функции есть точка перегиба. В лишний раз докажем как необходимое условие будет применяться на всем промежутке убывания той или иной нисходящей позиции вектора. В условиях замкнутого пространства мы выберем переменную из начального блока нашего скрипта. За отсутствие главного момента силы отвечает система, построенная как базис по трем векторам. Однако калькулятор уравнений вывел, и помогло в нахождении всех членов построенного уравнения, как над поверхностью, так и вдоль параллельных линий. Вокруг начальной точки опишем некую окружность. Таким образом, мы начнем продвигаться вверх по линиям сечений, и касательная опишет окружность по всей ее длине, в результате получим кривую, которая называется эвольвентой. Кстати расскажем об этой кривой немного истории. Дело в том, что исторически в математике не было понятия самой математики в чистом понимании как сегодня. Раньше все ученые занимались одним общим делом, то есть наукой. Позже через несколько столетий, когда научный мир наполнился колоссальным объемом информации, человечество все-таки выделило множество дисциплин. Они до сих пор остались неизменными. И все же каждый год ученые всего мира пытаются доказать, что наука безгранична, и вы не решите уравнение, если не будете обладать знаниями в области естественных наук. Окончательно поставить точку не может быть возможным. Об этом размышлять также бессмысленно, как согревать воздух на улице. Найдем интервал, на котором аргумент при положительном своем значении определит модуль значения в резко возрастающем направлении. Реакция поможет отыскать как минимум три решения, но необходимо будет проверить их. Начнем с того, что нам понадобиться решить уравнение онлайн с помощью уникального сервиса нашего сайта. Введем обе части заданного уравнения, нажмем на кнопу «РЕШИТЬ» и получим в течение всего нескольких секунд точный ответ. В особых случаях возьмем книгу по математике и перепроверим наш ответ, а именно посмотрим только ответ и станет все ясно. Вылетит одинаковый проект по искусственному избыточному параллелепипеду. Есть параллелограмм со своими параллельными сторонами, и он объясняет множество принципов и подходов к изучению пространственного отношения восходящего процесса накопления полого пространства в формулах натурального вида. Неоднозначные линейные уравнения показывают зависимость искомой переменной с нашим общим на данный момент времени решением и надо как-то вывести и привести неправильную дробь к нетривиальному случаю. На прямой отметим десять точек и проведем через каждую точку кривую в заданном направлении, и выпуклостью вверх. Без особых трудностей наш калькулятор уравнений представит в таком виде выражение, что его проверка на валидность правил будет очевидна даже в начале записи. Система особых представлений устойчивости для математиков на первом месте, если иного не предусмотрено формулой. На это мы ответим подробным представление доклада на тему изоморфного состояния пластичной системы тел и решение уравнений онлайн опишет движение каждой материальной точки в этой системе. На уровне углубленного исследования понадобится подробно выяснить вопрос об инверсиях как минимум нижнего слоя пространства. По возрастанию на участке разрыва функции мы применим общий метод великолепного исследователя, кстати, нашего земляка, и расскажем ниже о поведении плоскости. В силу сильных характеристик аналитически заданной функции, мы используем только калькулятор уравнений онлайн по назначению в выведенных пределах полномочий. Рассуждая далее, остановим свой обзор на однородности самого уравнения, то есть правая его часть приравнена к нулю. Лишний раз удостоверимся в правильности принятого нами решения по математике. Во избежание получения тривиального решения, внесем некоторые корректировки в начальные условия по задаче на условную устойчивость системы. Составим квадратное уравнение, для которого выпишем по известной всем формуле две записи и найдем отрицательные корни. Если один корень на пять единиц превосходит второй и третий корни, то внесением правок в главный аргумент мы тем самым искажаем начальные условия подзадачи. По своей сути нечто необычное в математике можно всегда описать с точностью до сотых значений положительного числа. В несколько раз калькулятор дробей превосходит свои аналоги на подобных ресурсах в самый лучший момент нагрузки сервера. По поверхности растущего по оси ординат вектора скорости начертим семь линий, изогнутых в противоположные друг другу направления. Соизмеримость назначенного аргумента функции опережает показания счетчика восстановительного баланса. В математике этот феномен представим через кубическое уравнение с мнимыми коэффициентами, а также в биполярном прогрессе убывания линий. Критические точки перепада температуры во много своем значении и продвижении описывают процесс разложения сложной дробной функции на множители. Если вам скажут решите уравнение, не спешите это делать сию минуту, однозначно сначала оцените весь план действий, а уже потом принимайте правильный подход. Польза будет непременно. Легкость в работе очевидна, и в математике то же самое. Решить уравнение онлайн. Все уравнения онлайн представляют собой определенного вида запись из чисел или параметров и переменной, которую нужно определить. Вычислить эту самую переменную, то есть найти конкретные значения или интервалы множества значений, при которых будет выполняться тождество. Напрямую зависят условия начальные и конечные. В общее решение уравнений как правило входят некоторые переменные и константы, задавая которые, мы получим целые семейства решений для данной постановки задачи. В целом это оправдывает вкладываемые усилия по направлению возрастания функциональности пространственного куба со стороной равной 100 сантиметрам. Применить теорему или лемму можно на любом этапе построения ответа. Сайт постепенно выдает калькулятор уравнений при необходимости на любом интервале суммирования произведений показать наименьшее значение. В половине случаев такой шар как полый, не в большей степени отвечает требованиям постановки промежуточного ответа. По крайней мере на оси ординат в направлении убывания векторного представления эта пропорция несомненно будет являться оптимальнее предыдущего выражения. В час, когда по линейным функциям будет проведен полный точечный анализ, мы, по сути, соберем воедино все наши комплексные числа и биполярные пространства плоскостной. Подставив в полученное выражение переменную, вы решите уравнение поэтапно и с высокой точностью дадите максимально развернутый ответ. Лишний раз проверить свои действия в математике будет хорошим тоном со стороны учащегося студента. Пропорция в соотношении дробей зафиксировала целостность результата по всем важным направлениям деятельности нулевого вектора. Тривиальность подтверждается в конце выполненных действий. С простой поставленной задачей у студентов не может возникнуть сложностей, если решить уравнение онлайн в самые кратчайшие периоды времени, но не забываем о всевозможных правилах. Множество подмножеств пересекается в области сходящихся обозначений. В разных случаях произведение не ошибочно распадается на множители. Решить уравнение онлайн вам помогут в нашем первом разделе, посвященном основам математических приемов для значимых разделов для учащихся в ВУЗах и техникумах студентов. Ответные примеры нас не заставят ожидать несколько дней, так как процесс наилучшего взаимодействия векторного анализа с последовательным нахождением решений был запатентован в начале прошлого века. Выходит так, что усилия по взаимосвязям с окружающим коллективом были не напрасными, другое очевидно назрело в первую очередь. Спустя несколько поколений, ученые всего мира заставили поверить в то, что математика это царица наук. Будь-то левый ответ или правый, все равно исчерпывающие слагаемые необходимо записать в три ряда, поскольку в нашем случае речь пойдет однозначно только про векторный анализ свойств матрицы. Нелинейные и линейные уравнения, наряду с биквадратными уравнениями, заняли особый пост в нашей книге про наилучшие методы расчета траектории движения в пространстве всех материальных точек замкнутой системы. Воплотить идею в жизнь нам поможет линейный анализ скалярного произведения трех последовательных векторов. В конце каждой постановки, задача облегчается благодаря внедрениям оптимизированных числовых исключений в разрез выполняемых наложений числовых пространств. Иное суждение не противопоставит найденный ответ в произвольной форме треугольника в окружности. Угол между двумя векторами заключает в себе необходимый процент запаса и решение уравнений онлайн зачастую выявляет некий общий корень уравнения в противовес начальным условиям. Исключение выполняет роль катализатора во всем неизбежном процессе нахождения положительного решения в области определения функции. Если не сказано, что нельзя пользоваться компьютером, то калькулятор уравнений онлайн в самый раз подойдет для ваших трудных задач. Достаточно лишь вписать в правильном формате свои условные данные и наш сервер выдаст в самые кратчайшие сроки полноценный результирующий ответ. Показательная функция возрастает гораздо быстрее, чем линейная. Об этом свидетельствую талмуды умной библиотечной литературы. Произведет вычисление в общем смысле как это бы сделало данное квадратное уравнение с тремя комплексными коэффициентами. Парабола в верхней части полуплоскости характеризует прямолинейное параллельное движение вдоль осей точки. Здесь стоит упомянуть о разности потенциалов в рабочем пространстве тела. Взамен неоптимальному результату, наш калькулятор дробей по праву занимает первую позицию в математическом рейтинге обзора функциональных программ на серверной части. Легкость использования данного сервиса оценят миллионы пользователей сети интернет. Если не знаете, как им воспользоваться, то мы с радостью вам поможем. Еще хотим особо отметить и выделить кубическое уравнение из целого ряда первостепенных школьнических задач, когда необходимо быстро найти его корни и построить график функции на плоскости. Высшие степени воспроизведения - это одна из сложных математических задач в институте и на ее изучение выделяется достаточное количество часов. Как и все линейные уравнения, наши не исключение по многих объективным правилам, взгляните под разными точками зрений, и окажется просто и достаточно выставить начальные условия. Промежуток возрастания совпадает с интервалом выпуклости функции. Решение уравнений онлайн. В основе изучения теории состоят уравнения онлайн из многочисленных разделов по изучению основной дисциплины. По случаю такого подхода в неопределенных задачах, очень просто представить решение уравнений в заданном заранее виде и не только сделать выводы, но и предсказать исход такого положительного решения. Выучить предметную область поможет нам сервис в самых лучших традициях математики, именно так как это принято на Востоке. В лучшие моменты временного интервала похожие задачи множились на общий множитель в десять раз. Изобилием умножений кратных переменных в калькулятор уравнений завелось приумножать качеством, а не количественными переменными таких значений как масса или вес тела. Во избежание случаев дисбаланса материальной системы, нам вполне очевиден вывод трехмерного преобразователя на тривиальном схождении невырожденных математических матриц. Выполните задание и решите уравнение в заданных координатах, поскольку вывод заранее неизвестен, как и неизвестны все переменные, входящие в пост пространственное время. На короткий срок выдвинете общий множитель за рамки круглых скобок и поделите на наибольший общий делитель обе части заранее. Из-под получившегося накрытого подмножества чисел извлечь подробным способом подряд тридцать три точки за короткий период. Постольку поскольку в наилучшем виде решить уравнение онлайн возможно каждому студенту, забегая вперед, скажем одну важную, но ключевую вещь, без которой в дальнейшем будем непросто жить. В прошлом веке великий ученый подметил ряд закономерностей в теории математики. На практике получилось не совсем ожидаемое впечатление от событий. Однако в принципе дел это самое решение уравнений онлайн способствует улучшению понимания и восприятия целостного подхода к изучению и практическому закреплению пройдённого теоретического материала у студентов. На много проще это сделать в свое учебное время.

=

Хотя пугающий вид символа квадратного корня и может заставить съежиться человека, не сильного в математике, задачи с квадратным корнем не такие уж и трудные, как это может вначале показаться. Простые задачи с квадратным корнем довольно часто можно решить так же легко, как обычные задачи с умножением или делением. С другой стороны, более сложные задачи могут потребовать некоторых усилий, но с правильным подходом даже они не составят вам труда. Начните решать задачи с корнем уже сегодня, чтобы научиться этому радикально новому математическому умению!

Шаги

Часть 1

Понимание квадратов чисел и квадратных корней

  1. Возведите число в квадрат, умножив его само на себя. Для того чтобы понять квадратные корни, лучше начать с квадратов чисел. Квадраты чисел довольно просты: возведение числа в квадрат означает умножение его само на себя. Например, 3 в квадрате это то же самое, что и 3 × 3 = 9, а 9 в квадрате это то же самое, что и 9 × 9 = 81. Квадраты помечаются написанием небольшой цифры «2» справа над возводящим в квадрат числом. Пример: 3 2 , 9 2 , 100 2 и так далее.

    • Попробуйте сами возвести в квадрат еще несколько чисел, чтобы опробовать эту концепцию. Помните, возведение числа в квадрат означает, что это число следует умножить само на себя. Это можно сделать даже для отрицательных чисел. В таком случае результат всегда будет положительным. Например: -8 2 = -8 × -8 = 64 .

  2. Когда речь идет о квадратных корнях, то здесь идет обратный процесс возведению в квадрат. Символ корня (√, его также называют радикалом) по существу означает противоположность символа 2 . Когда вы видите радикал, вы должны спросить себя: «Какое число может умножиться само на себя, чтобы получилось число под корнем?». Например, если вы видите √(9), тогда вы должны найти число, которое при возведении в квадрат давало бы число девять. В нашем случае этим числом будет три, потому что 3 2 = 9.

    • Рассмотрим еще один пример и найдем корень из 25 (√(25)). Это означает, что нам необходимо найти число, которое бы в квадрате давало нам 25. Так как 5 2 = 5 × 5 = 25, можно сказать, что √(25) = 5.
    • Вы также может думать об этом, как об «аннулировании» возведения в квадрат. Например, если нам необходимо найти √(64), квадратный корень 64, то давайте думать об этом числе, как о 8 2 . Так как символ корня «отменяет» возведение в квадрат, то мы можем сказать, что √(64) = √(8 2) = 8.

  3. Знайте разницу между идеальным и не идеальным возведением в квадрат. До этих пор ответами на наши задачи с корнем были хорошие и круглые числа, но это не всегда так. Ответами задач с квадратным корнем могут быть очень длинные и неудобные числа с десятичной дробью. Числа, корень которых представляет собой целые числа (другими словами, числа которые не являются дробью) называются полными квадратами. Все вышеупомянутые примеры (9, 25 и 64) являются полными квадратами, потому что их корнем будет целое число (3,5 и 8).

    • С другой стороны, числа, которые при возведении под корень не дают целого числа, называются неполными квадратами. Если поставить одно из этих чисел под корень, то вы получите число с десятичной дробью. Иногда такое число может оказаться весьма длинным. Например, √(13) = 3,605551275464...

  4. Запомните первые 1-12 полных квадратов. Как вы, вероятно, уже заметили, найти корень полного квадрата довольно легко! Из-за того, что эти задачи такие простые, стоит запомнить корни первой дюжины полных квадратов. Вы не раз столкнетесь с этими числами, так что потратьте немного времени, чтобы запомнить их пораньше и сэкономить время в будущем.

    • 1 2 = 1 × 1 = 1
    • 2 2 = 2 × 2 = 4
    • 3 2 = 3 × 3 = 9
    • 4 2 = 4 × 4 = 16
    • 5 2 = 5 × 5 = 25
    • 6 2 = 6 × 6 = 36
    • 7 2 = 7 × 7 = 49
    • 8 2 = 8 × 8 = 64
    • 9 2 = 9 × 9 = 81
    • 10 2 = 10 × 10 = 100
    • 11 2 = 11 × 11 = 121
    • 12 2 = 12 × 12 = 144

  5. Упростите корни, убрав из него полные квадраты, если это возможно. Найти корень неполного квадрата иногда может оказаться нелегко, особенно если вы не используете калькулятор (в разделе ниже вы найдете несколько трюков, как сделать этот процесс легче). Однако зачастую можно упростить число под корнем, чтобы с ним было легче работать. Чтобы сделать это, вам просто необходимо разделить число под корнем на множители, а затем найти корень множителя, который является полным квадратом, и записать его снаружи корня. Это проще, чем кажется. Читайте далее, чтобы получить больше информации.

    • Давайте предположим, что нам необходимо найти квадратный корень 900. На первый взгляд это кажется довольно тяжелой задачей! Однако это не будет так тяжело, если мы разделим число 900 на множители. Множители – это числа, которые умножаются друг на друга для того, чтобы дать новое число. Например, число 6 можно получить, умножив 1 × 6 и 2 × 3, его множителями будут числа 1, 2, 3 и 6.
    • Вместо того чтобы искать корень числа 900, что немного затруднительно, давайте запишем 900, как умножение 9 × 100. Теперь, когда число 9, которое является полным квадратом, отделено от 100, мы можем найти его корень. √(9 × 100) = √(9) × √(100) = 3 × √(100). Другими словами, √(900) = 3√(100).
    • Мы даже можем пойти еще дальше, разделив 100 на два множителя, 25 и 4. √(100) = √(25 × 4) = √(25) × √(4) = 5 × 2 = 10. Поэтому мы можем сказать, что √(900) = 3(10) = 30

  6. Используйте мнимые числа, чтобы найти корень отрицательного числа. Спросите себя, какое число при умножении само на себя даст -16? Это не 4 и не -4, так как возведение этих чисел в квадрат даст нам положительное число 16. Сдались? На самом деле не существует способа записать корень -16 или любого другого отрицательного числа обычными числами. В таком случае мы должны подставить мнимые числа (обычно в форме букв или символов), чтобы они оказались вместо корня отрицательного числа. Например, переменная «i» обычно используется для возведения под корень числа -1. Как правило, корнем отрицательного числа всегда будет мнимое число (или включенное в него).

    • Знайте, что хотя мнимые числа и не могут быть представлены обычными цифрами, к ним все равно можно относиться, как к таковым. Например, квадратный корень отрицательного числа можно возвести в квадрат, чтобы придать этим отрицательным числам, как и любым другим, квадратный корень. Например, i 2 = -1

    Часть 2

    Использование алгоритма деления столбиком

    1. Запишите задачу с корнем, как задачу деления столбиком. Хотя это может отнять довольно много времени, таким образом, вы сможете решить задачу с корнем неполных квадратов, не прибегая к помощи калькулятора. Для этого мы воспользуемся методом решения (или алгоритмом), который похож (но не точно такой же) на обычное деление столбиком.

      • Для начала запишите задачу с корнем в такую же форму, что и при делении столбиком. Предположим, что мы хотим найти квадратный корень числа 6,45, которое точно не является полным квадратом. Сперва мы напишем обычный символ квадрата, а затем под ним мы напишем число. Далее над числом мы нарисуем линию, чтобы оно оказалось в небольшой «коробочке», так же как и при делении столбиком. После этого у нас получится корень с длинным хвостом и числом 6,45 под ним.
      • Над корнем мы будем писать числа, так что обязательно оставьте там место.

    2. Сгруппируйте цифры по парам. Для того чтобы начать решать задачу, необходимо сгруппировать цифры числа под радикалом по парам, начав с точки в десятичной дроби. Если хотите, можете делать небольшие отметки (вроде точек, косой линии, запятых и прочего) между парами, чтобы не запутаться.

      • В нашем примере, мы должны разделить на пары число 6,45 следующим образом: 6-,45-00. Обратите внимание, что слева присутствует «оставшаяся» цифра – это нормально.

    3. Найдите наибольшее число, квадрат которого меньше или равен первой «группе». Начните с первого числа или пары слева. Выберите наибольшее число, квадрат которого меньше или равен оставшейся «группе». Например, если бы группа была равна 37, вы бы выбрали число 6, потому что 6 2 = 36 < 37, а 7 2 = 49 > 37. Запишите это число над первой группой. Это будет первой цифрой вашего ответа.

      • В нашем примере, первой группой в 6-,45-00 будет цифра 6. Наибольшее число, которое в квадрате будет меньше или равно 6 это 2 2 = 4. Напишите цифру 2 над цифрой 6, которая стоит под корнем.

    4. Удвойте только что написанное число, затем опустите его под корень и отнимите. Возьмите первую цифру вашего ответа (число, которое вы только что нашли) и удвойте ее. Запишите результат под первой своей группой и отнимите, чтобы найти разницу. Опустите следующую пару чисел рядом с ответом. И наконец, напишите слева последнюю цифру удвоения первой цифры своего ответа, а рядом оставьте пробел.

      • В нашем примере, мы начнем с удвоения цифры 2, которая является первой цифрой нашего ответа. 2 × 2 = 4. Затем мы отнимем 4 от 6 (нашей первой «группы»), получив при этом 2. Далее мы опустим следующую группу (45), чтобы получить 245. И наконец, слева мы еще раз напишем цифру 4, оставив в конце небольшой пробел, вот так: 4_

    5. Заполните пробел. Затем вы должны прибавить цифру к правой части записанного числа, которое находится слева. Выберите цифру, перемножив которую с вашим новым числом, вы получили бы максимально большой результат, но который бы был меньше или равен «опущенному «числу». Например, если ваше «опущенное» число равно 1700, а ваше число слева это 40_, в пробел необходимо написать цифру 4, так как 404 × 4 = 1616 < 1700, в то время как 405 × 5 = 2025. Найденная в этом шаге цифра и будет второй цифрой вашего ответа, так вы можете записать ее над знаком корня.

      • В нашем примере, мы должны найти число и записать его в пробелы 4_ × _, что сделает ответ как можно большим, но все же меньшим или равным 245. В нашем случае это цифра 5. 45 × 5 = 225, в то время как 46 × 6 = 276

    6. Продолжайте использовать «пустые» числа, чтобы найти ответ. Продолжайте решать это измененное деление столбиком, пока не начнете получать нули при вычитании «опущенного» числа или пока не получите желаемый уровень точности ответа. Когда вы закончите, числа, которые вы использовали, чтобы заполнить пробелы в каждом шаге (плюс самое первое число) будут составлять число вашего ответа.

      • Продолжая наш пример, мы отнимем 225 от 245, чтобы получить 20. Затем, мы опустим следующую пару чисел, 00, чтобы получить 2000. Удвоим число над знаком корня. Мы получим 25 × 2 = 50. Решив пример с пробелами, 50_ × _ =/< 2,000, мы получим 3. На этом этапе над радикалом у нас будет написано 253, а повторив этот процесс снова, следующим нашим числом будет цифра 9.

    7. Передвиньте точку десятичной дроби вперед от изначального «делимого» числа. Чтобы завершить свой ответ, вы должны поставить точку десятичной дроби в правильное место. К счастью, сделать это довольно легко. Все, что вам необходимо сделать, это выровнять ее относительно точки изначального числа. Например, если под корнем будет стоять число 49,8, вы должны будете поставить точку между двумя цифрами над девяткой и восьмеркой.

      • В нашем примере под радикалом стоит число 6,45, так что мы просто переместим точку и поставим ее между цифрами 2 и 5 в нашем ответе, получив при этом ответ равный 2,539.

    Часть 3

    Быстрый подсчет неполных квадратов

    1. Найдите неполные квадраты, подсчитав их. Когда вы запомните полные квадраты, поиск корня неполных квадратов станет намного проще. Так как вы уже знаете дюжину полных квадратов, любое число, которое попадает в область между этими двумя полными квадратами можно найти, сведя все к приблизительному подсчету между этих значений. Начните с поиска двух полных квадратов, между которыми находится ваше число. Затем определите, к которому из этих чисел ваше число находится ближе.

      • Например, предположим, что нам необходимо найти квадратный корень числа 40. Так как мы запомнили полные квадраты, мы можем сказать, что число 40 находится между 6 2 и 7 2 или числам 36 и 49. Так как 40 больше 6 2 , его корень будет больше 6, а так как оно меньше 7 2 , его корень также будет и меньше 7. 40 немного ближе к 36, чем к 49, так что ответ, скорее всего, будет немного ближе к 6. В следующих нескольких шагах мы сузим наш ответ.
        • Следующее, что вы должны сделать, это возвести приблизительное число в квадрат. Вам, скорее всего, не повезет и вы не получите изначальное число. Оно будет или немного большим, или немного меньшим. Если ваш результат слишком большой, тогда попробуйте снова, но с немного меньшим приблизительным числом (и наоборот, если результат слишком низкий).
        • Умножьте 6,4 само на себя, и вы получите 6,4 × 6,4 = 40,96, что немного больше за изначальное число.
        • Так как наш ответ оказался больше, мы должны умножит число на одну десятую меньше за приблизительное и получить следующее: 6,3 × 6,3 = 39,69. Это немного меньше за изначальное число. Это значит, что квадратный корень 40 находится между 6,3 и 6,4. И снова, так как 39,69 ближе к 40, чем 40,96, мы знаем, что квадратный корень будет ближе к 6,3, чем к 6,4.

    2. Продолжайте расчет. На этом этапе, если вы довольны своим ответом, вы можете просто взять первое угаданное приблизительное значение. Однако если вы хотите получить более точный ответ, все что вам необходимо сделать, это выбрать приблизительное значение с двумя знаками десятичной дроби, которое ставит это приблизительное значение между первыми двумя числами. Продолжив этот подсчет, вы сможете получить для своего ответа три, четыре и больше знаков после запятой. Все зависит от того, насколько далеко вы захотите зайти.

      • В нашем примере давайте выберем 6,33 в качестве приблизительного значения с двумя знаками после запятой. Умножьте 6,33 само на себя, чтобы получить 6,33 × 6,33 = 40,0689. так как это немного больше нашего числа, мы возьмем число поменьше, например, 6,32. 6,32 × 6,32 = 39.9424. Этот ответ немного меньше нашего числа, так что мы знаем, что точный квадратный корень находится между 6,32 и 6,33. Если бы мы захотели продолжить, мы бы продолжали использовать тот же подход, чтобы получить ответ, который становился бы все точнее и точнее.
    • Для быстрого поиска решения, воспользуйтесь калькулятором. Большинство современных калькуляторов могут мгновенно найти квадратный корень числа. Все что вам необходимо сделать, это ввести свое число, а затем нажать на кнопку со знаком корня. Например, для того чтобы найти корень 841, вы должны будет нажать 8, 4, 1 и (√). В результате чего вы получите ответ 39.

Очень не нравятся, некоторым, школьникам уравнения и задачи, в которых встречается знак корня. А ведь решить пример с корнем не так сложно, важно знать, с какой стороны подойти к проблеме. Сам значок, который обозначает извлечение корня, называется радикалом. Как решать корни? Извлечь квадратный корень из числа – это значит, подобрать такое число, которое в квадрате даст то самое значение под знаком радикала.

Итак, как решать квадратные корни

Решать квадратные корни несложно. Например, требуется выяснить, сколько будет корень из 16. Для того чтобы решить этот простой пример, нужно вспомнить, сколько будет 2 в квадрате - 2 2 , затем 3 2 , и, наконец, 4 2 . Только теперь мы увидим, что результат (16) соответствует запросу. То есть, для того, чтобы извлечь корень, нам пришлось подбирать возможные значения. Оказывается, для того, чтобы решать корни, не существует точного и проверенного алгоритма. Для облегчения труда "решателя", математики рекомендуют заучить наизусть (именно назубок, как таблицу умножения) значения квадратов чисел до двадцати. Тогда можно будет запросто извлекать корень из чисел, которые больше сотни. И, наоборот, видеть сразу, что корень из этого числа извлечь нельзя, то есть ответ не будет иметь целое число.

Мы разобрались, как решать квадратные корни. А теперь давайте разберемся, какие квадратные корни решения не имеют. Например, отрицательные числа. Здесь понятно, что если два отрицательных числа перемножить – ответ получится со знаком плюс. Далее что следует знать. Корень извлечь можно из любого числа (кроме отрицательного, как упоминалось выше). Просто ответ может обернуться десятичной дробью. То есть содержать какое-то количество цифр после запятой. Например, корень из двух имеет значение 1.41421 и это еще не все цифры после запятой. Такие значения округляются для облегчения расчетов, иногда до второй цифры после запятой, иногда до третьей или четвертой. Кроме того частенько практикуется так и оставлять число под корнем в качестве ответа, если оно хорошо и компактно смотрится. Ведь и так ясно, что оно означает.

Как решать уравнения с корнями?

Чтобы решать уравнения с корнями, нужно применить одну из придуманных не нами методик. Например, возвести обе части такого уравнения в квадрат. Например:

Корень из X+3=5

Возведем в квадрат левую и правую части уравнения:

Теперь уже видно, как решать это уравнение. Сначала выясним, чему равен X 2 (а он равен 16), а затем извлечем из него корень. Ответ: 4. Однако здесь стоит сказать, что это уравнение на самом деле имеет два решения, два корня: 4 и -4. Ведь -4 в квадрате тоже даст 16.

Кроме этого метода иногда более привлекателен и удобен способ замены переменной, которая находится под корнем – другой переменной, для того, чтобы избавиться от этого корня.

Y = корень из X.

Впоследствии, решив уравнение, мы возвращаемся к замене и заканчиваем вычисления с корнем.

То есть, получаем X = Y 2 . А это и будет решение.

Следует сказать, что есть еще несколько приемов решения уравнений с корнями.

Как решать корни в степени?

Радикал, в основании которого нет степени, означает, что нужно извлечь из выражения или числа квадратный корень, то есть квадратная степень наоборот. Это просто и понятно. Например: корень из 9 = 3, (а 3 2 = 9), корень из 16 = 4 (4 2 = 16) и все в том же духе. Но что значит, если у корня есть степень? Это означает, что нужно, опять же, произвести действие, обратное возведению в эту самую степень. Например, нужно узнать значение корня кубического из 27.
Для этого, надо подобрать такое число, которое при возведении в куб, даст 27. Это 3 (3*3*3=27).

корень 3 из 27 = 3

Похожие действия нужно произвести, если степень корня равна 4, 5. Только в этом случае надо подобрать такое число, которое при возведении в степень n даст значение под корнем n -ной степени.

Тут нужно сказать, что степени корней и степени подкоренных выражений можно сокращать. Однако по правилам. Если число или переменная под корнем имеет степень, кратную степени корня – их можно сократить. Например:

корень 3 из X 6 = X 2

Эти правила действий с корнями и степенями просты, их нужно знать четко, и тогда расчет будет прост. Как решать корни в степени, мы разобрались, теперь продвигаемся дальше.

Как решать корень под корнем?

Это ужасное выражение корень под корнем на первый взгляд не решаемое. Но, чтобы правильно вычислить значение такого выражения, нужно знать свойства корней. В таком случае требуется просто заменить два корня – одним. Для этого степени этих радикалов нужно просто перемножить. Например:

корень 3 из корня 729 = (корень 3 * корень 2) из 729

То есть, здесь мы умножили между собой корень кубический на корень квадратный. В итоге получили корень шестой степени:

корень 6 из 729 = 3

Точно так же нужно решать и другие подобные корни под корнем.

Рассмотрев все предложенные примеры, легко согласиться, что решение корней – не такая уж и трудная задача. Конечно, когда дело сводится к простой, банальной арифметике, иногда легче воспользоваться привычным калькулятором. Однако перед тем как производить вычисления, нужно сделать все возможное, чтобы упростить себе задачу, максимально сократив количество и сложность арифметических вычислений. Тогда решение станет простым и, самое главное – интересным.