Значение коэффициента автокорреляции первого порядка характеризует. Оценка значимости коэффициентов автокорреляции по t-критерию

При изучении развития явления во времени часто возникает необходимость оценить степень взаимосвязи в изменениях уровней 2-х или более рядов динамики различного содержания, но связанных между собой. Эта задача решается методами коррелирования:

· уровней ряда динамики

· отклонений фактических уровней от тренда

· последовательных разностей

Коррелирование уровней динамических рядов с применением парного коэффициента корреляции правильно показывает тесноту связи лишь в том случае, если в каждом из них отсутствует автокорреляция. Наличие зависимости между последующими и предшествую­щими уровнями динамического ряда в статистической литерату­ре называютавтокорреляцией .

Поэтому прежде, чем коррелировать ряды динамики по уровням, необходимо проверить каждый из рядов на наличие или отсутствие в них автокорреляции. Применение методов классической теории корреляции в ди­намических рядах связано с некоторыми особенностями. Преж­де всего, это наличие для большинства динамических рядов зави­симости последующих уровней от предыдущих.

Коэффициент автокорреляции вычисляется по непосред­ственным данным рядов динамики, когда фактические уровни од­ного ряда рассматриваются как значения факторного признака, а уровни этого же ряда со сдвигом на один период, принимаются в качестве результативного признака (этот сдвиг называется лагом). Коэффициент автокорреляции рассчитывается на основе фор­мулы коэффициента корреляции для парной зависимости:

· y t – фактические уровни ряда,

· y t+1 – уровни того же ряда со сдвигом на 1 период (коэффициент автокорреляции первого порядка).

Формула для расчета коэффициента автокорреляции уровней ряда 1-го порядка :

Формула для расчета коэффициента автокорреляции уровней ряда 2-го порядка :

Для суждения о наличии или отсутствии автокорреляции в исследуемом ряду, фактическое значение коэффициента автокорреляции сопоставляют с табличным для 5% или 1% уровня значимости. Если расчетное значение меньше табличного, то гипотеза об отсутствии автокорреляции принимается и, наоборот, в противном случае, отвергается.

Последовательность коэффициентов автокорреляции 1, 2 и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости значений коэффициентов автокорреляции от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называют коррелограммой .

Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет выявить структуру ряда, т. е. определить присутствие в ряде той или иной компоненты. Так, если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, то исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка m, то ряд содержит циклические колебания с периодичностью в m моментов времени. Если же ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, то можно сделать одно из двух предположений:

· либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, а его уровень определяется только случайной компонентой;

· либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ .

Необходимо подчеркнуть, что линейные коэффициенты автокорреляции характеризуют тесноту только линейной связи текущего и предыдущих уровней ряда. Поэтому, по коэффициентам автокорреляции можно судить только о наличии или отсутствии линейной зависимости (или близкой к линейной). Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка или экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к 0 .

После расчетов необходимо определить на каком лаге коэффициент будет максимальным (как правило, это первый лаг) и оценить его значимость. Предпосылкой для решения данной задачи является возможность проявления ошибки репрезентативности при анализе выборочных данных. Проверяется статистическая гипотеза: генеральный коэффициент автокорреляции равен нулю (следовательно, полученное значение выборочного коэффициента автокорреляции является следствием проявление случайной ошибки репрезентативности). Альтернативная гипотеза: генеральный коэффициент автокорреляции отличен от нуля (следовательно, полученное значение выборочного коэффициента автокорреляции может рассматриваться как оценка неизвестного генерального коэффициента автокорреляции по выборочным данным). Гипотезы проверяются через расчет t-критерия Стьюдента и сравнение расчетного значения с теоретическим.

Где r – коэффициент автокорреляции, σ r – стандартная ошибка коэффициента автокорреляции.

Ошибка рассчитывается следующим образом:

Где n – число уровней ряда

Теоретическое значение критерия Стьюдента при уровне значимости 0,05 и числе степеней свобод 12 равно 2,17

Расчетное значение критерия превосходит теоретическое (16,69 против 2,17), следовательно коэффициент автокорреляции на первом лаге признается значимым.

Наличие высокой автокорреляции в сочетании со значимостью коэффициента дает нам возможность рассмотреть регрессионную модель вида

(один из видов модели регрессии). Такая модель называется авторегрессией и позволяет решать задачу экстраполяции и прогнозирования.

Практика показывает, что часто в отклонениях от тренда сохраняется автокорреляция. Прежде чем приступить к расчету коэффициента корреляции по остаткам, необходимо проверить наличие в них автокорреляции. Проверяемая статистическая гипотеза (H0:) формулируется следующим образом:

H0: автокорреляция в анализируемом динамическом ряду отсутствует.

Наиболее распространенным статистическим критерием оценки автокорреляции в отклонениях от тренда, является критерий Дарбина – Уотсона (d0 ), статистика критерия определяется по следующей формуле:

,

где – случайные отклонения от тренда .

Значение критерия изменяется в интервале от «0» до «4». При 0 < d < 2 - автокорреляция положительная,

если 2 < d < 4 – автокорреляция отрицательная.

Близость величины критерия к «2» говорит об отсутствии или несущественной автокорреляции. Оценки, получаемые по критерию «d», являются интервальными. Существуют таблицы распределения значений критерия Дарбина – Уотсона, составленные для различных уровней значимости. Таблицы составлены с учетом числа наблюдений в динамическом ряду и числа переменных в уравнении тренда.

По таблице в каждом конкретном случае находят нижнюю ( ) и верхнюю ( ) границы критерия. Результат сравнения расчетного значения с табличным интерпретируется следующим образом:

1. > , - H0 - принимается;

2. < , - H0 - отвергается;

3. , необходимо дальнейшее исследование (например, по более протяженному временному ряду).

Для проверки остатков на наличие автокорреляции можно просто рассчитать коэффициенты автокорреляции по остаткам. Данная задача решается аналогично задаче оценки автокорреляции динамических рядов. Единственное отличие: исходные данные в этом случае – это остатки по оптимальному тренду (берутся из отчетов)

Отсутствие автокорреляции в остатках определяется по величине коэффициента (меньше 0,5 – автокорреляция отсутствует). Решение данной задачи дополнительно подтверждает качество выбора тренда.

Кросс-корреляция динамических рядов – это корреляционная зависимость между динамическими рядами с заданным временным смещением (лагом). Внимание! Расчет коэффициентов кросс-корреляции проводится по остаткам с оптимальных трендов по динамическим рядам. Необходимость исключения трендовой составляющей динамического ряда объясняется тем, что при коррелировании уровней однонаправленных рядов значительно искажаются (завышаются результаты расчетов).

Остатки по двум динамическим рядам берутся из отчетов по оптимальным трендам.

Смещение (лаг) задается по аналогии с задачей автокорреляции.

Вторым отличием является необходимость рассмотрения прямой и обратной зависимости.

Последовательность задания исходных данных значения в данном случае не имеет, так как в любом случае рассматривается прямая зависимость – импорт к экспорту, и обратная – экспорт к импорту соответственно.

Третье отличие - на нулевом лаге смещение не задается

По полученным коэффициентам кросс-корреляции строится коррелограмма

По аналогии с решением задачи автокорреляции необходимо оценить значимость максимального коэффициента кросс-корреляции (как правило, это коэффициент на нулевом лаге).

Наличие высокой кросс-корреляции в сочетании со значимостью коэффициента дает нам возможность рассмотреть регрессионную модель вида

(в качестве модели регрессии выбирается оптимальный тренд. В данном случае линейный). Такая модель называется регрессионной моделью с включением фактора времени) и позволяет решать задачу экстраполяции и прогнозирования.

Уровни второго динамического ряда с заданным смещением на величину лага

Временной ряд является нестационарным , если он содержит такие систематические составляющие как тренд и цикличность.

Нестационарные временные ряды характеризуются тем, что значения каждого последующего уровня временного ряда корреляционно зависят от предыдущих значений.

Автокорреляцией уровней временного ряда называется корреляционная зависимость между настоящими и прошлыми значениями уровней данного ряда.

Лагом l называется величина сдвига между рядами наблюдений.

Лаг временного ряда определяет порядок коэффициента автокорреляции. Например, если уровни временного ряда x t и x t–1 корреляционно зависимы, то величина временного лага равна единице. Следовательно, данная корреляционная зависимость определяется коэффициентом автокорреляции первого порядка между рядами наблюдений x 1 …x n–1 и x 2 …x n . . Если лаг между рядами наблюдений равен двум, то данная корреляционная зависимость определяется коэффициентом автокорреляции второго порядка и т. д.

При увеличении величины лага на единицу число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается на единицу. Поэтому максимальный порядок коэффициента автокорреляции рекомендуется брать равным n/4 , где n – количество уровней временного ряда.

Автокорреляция между уровнями временного ряда оценивается с помощью выборочного коэффициента автокорреляции, который рассчитывается по формуле:

где x t *x t-l – среднее арифметическое произведения двух рядов наблюдений, взятых с лагом l :

x t x 1+l ,x 2+l ,…,x n :

x t-l – значение среднего уровня ряда x 1 ,x 2 ,…,x n–l :

G(x t), G(x t–l) – средние квадратические отклонения, рассчитанные для рядов наблюдений x 1+l ,x 2+l ,…,x n и x 1 ,x 2 ,…,x n–l соответственно.

Структуру временного ряда можно определить, рассчитав несколько последовательных коэффициентов автокорреляции. В результате данных вычислений можно выявить лаг l , для которого значение выборочного коэффициента автокорреляции r l является наибольшим.

Анализ структуры временного ряда с помощью коэффициентов автокорреляции стоится на следующих правилах:

1) исследуемый временной ряд содержит только трендовую компоненту, если наибольшим является значение коэффициента автокорреляции первого порядка r l–1 ;

2) исследуемый временной ряд содержит трендовую компоненту и колебания периодом l, если наибольшим является коэффициент автокорреляции порядка l. Эти колебания могут быть как циклическими, так и сезонными;

3) если ни один из коэффициентов автокорреляции r l (l =1,L ) не окажется значимым, то делается один из двух возможных выводов:

а) данный временной ряд не содержит трендовой и циклической компонент, а его колебания вызваны воздействием случайной компоненты, т. е. ряд представляет собой модель случайного тренда;

б) данный временной ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой необходимо провести его дополнительный анализ.

Графическим способом анализа структуры временного ряда является построение графиков автокорреляционной и частной автокорреляционной функций.

Автокорреляционной функцией называется функция оценки коэффициента автокорреляции в зависимости от величины временного лага между исследуемыми рядами.

Графиком автокорреляционной функции является коррелограмма.

Частная автокорреляционная функция отличается от автокорреляционной функции тем, что при её построении устраняется корреляционная зависимость между наблюдениями внутри лагов.

Если временной ряд содержит только случайную компоненту, то уровни временного ряда будут независимы друг от друга. Если же временной ряд содержит тенденцию или циклические колебания, то значения каждого последующего уровня зависят от предыдущих.

Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда. Автокорреляцию можно измерить количественно. Для этого рассчитывают линейный коэффициент корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого же ряда, сдвинутыми на один или несколько шагов во времени.

Например, разумно предположить, что доходы домохозяйства в текущем году зависят от доходов домохозяйства предыдущих лет. Определим коэффициент корреляции между ними. Известна рабочая формула линейного коэффициента корреляции

В качестве фактора мы рассмотрим доходы предшествующего периода (у t-1 ), а в качестве результата – доходы текущего периода (у t ), тогда приведенная выше формула примет вид

Средний уровень по исходному ряду динамики, определенный без учета первого уровня,

а - это средний уровень по ряду динамики, сдвинутому на одну дату.

Расстояние между уровнями временного ряда, для которых определяется коэффициент корреляции, называется лагом. Приведенная выше формула определяет величину автокорреляции между соседними уровнями, то есть при лаге = 1, поэтому этот коэффициент называют коэффициентом автокорреляции первого порядка. Допустим, r 1 = 0,98. Полученное значение свидетельствует об очень сильной зависимости между доходами текущего и предшествующего периода и, следовательно, о наличии в ряду сильной линейной тенденции.

Аналогично можно определить коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков. Коэффициент автокорреляции второго порядка характеризует тесноту связи между уровнями со сдвигом на две даты, то есть с лагом 2 и т.д.

С увеличением лага число пар, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается и, следовательно, снижается достоверность коэффициентов. Поэтому для обеспечения статистической достоверности лаг не должен быть больше, чем п / 4, где п – число уровней.

При анализе коэффициентов автокорреляции следует помнить следующее:

1. он определяется по формуле линейного коэффициента корреляции, таким образом, он измеряет тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней временного ряда. Для временных, рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию, коэффициент автокорреляции уровней может быть близким к нулю;

2. Знак коэффициента автокорреляции не указывает на направление тенденции в исходном ряду данных (возрастание или убывание). Большинство временных рядов экономических переменных содержат положительную автокорреляцию уровней, но при этом сам ряд может иметь и отрицательную тенденцию.

Если расположить коэффициенты по величине лага (то есть коэффициенты первого порядка, второго, третьего и т.д.), то мы получим автокорреляционную функцию временного ряда . График зависимости величины коэффициента автокорреляции от лага называют коррелограммой.

Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет выявить структуру временного ряда. Выявить структуру временного ряда – это значит выявить наличие или отсутствие его основных компонент (Т – трендовой компоненты и S – сезонной или циклической компоненты). Ряд может состоять только из трендовой и случайной компонент; или циклической и случайной; может содержать только случайную компоненту или все три компоненты одновременно.

Если наиболее высоким оказался коэффициент первого порядка, то исследуемый ряд содержит только тенденцию.

Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка К, то ряд содержит циклические колебания с периодичностью в К моментов времени, Так, например, если при анализе временного ряда наиболее высокими оказались коэффициенты автокорреляции второго порядка, то ряд имеет циклы в два периода времени, то есть имеет так называемую пилообразную структуру. Наиболее высокий коэффициент четвертого порядка указывает на наличие в ряду цикла в четыре момента (периода) времени. Если ни один из коэффициентов не является статистически значимым, то можно сделать следующие предположения:

1. ряд не содержит ни тенденции, ни циклов, а состоит только из случайной компоненты;

2. ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ.

При моделировании временных рядов встречаются ситуации, когда остатки содержат тенденцию или цикличность. В этом случае остатки не являются независимыми, каждое последующее значение остатка зависит от предыдущего. Это явление получило название автокорреляция остатков.

Назовем причины существования автокорреляции остатков:

1. в модель не включен фактор, оказывающий существенной воздействие на результат; его влияние будет отражаться в остатках, то есть они могут быть автокоррелированы;

2. модель не учитывает влияние нескольких второстепенных факторов, совместное влияние которых может быть существенным (если их тенденции совпадают или фазы цикличности совпадают);

3. автокорреляция остатков может заключаться в неверной функциональной спецификации модели.

Существуют два способа определения автокорреляции в остатках. Первый заключается в визуальном анализе графика зависимостей остатков от времени. Второй способ предполагает использование критерия Дарбина-Уотсона. Величину критерия (d) можно определить по одной из формул

либо d 2(1 – r e 1) ,

где r e 1 – коэффициент автокорреляции остатков первого порядка.

Если в остатках существует полная положительная автокорреляция , то r e 1 =1 и d = 0. Если в остатках полная отрицательная автокорреляция, то

r e 1 =-1 и d = 4. Если автокорреляция остатков отсутствует, то r e 1 =0 и d = 2.

На практике используется следующий алгоритм проверки гипотезы об автокорреляции остатков:

1. выдвигается нулевая гипотеза об отсутствии автокорреляции в остатках;

2. определяется фактическое значение критерия Дарбина – Уотсона (d);

3. по специальным таблицам (приложение учебника по эконометрике) находят критические значения критерия d L и d u , где п – число наблюдений, k - независимых переменных в модели, - уровень значимости;

4. числовой промежуток всех возможных значений d разбивается на 5 отрезков

0 d L d u 2 4- d u 4 - d L 4

5. если d - фактическое попадает в зону неопределенности, то предполагают существование автокорреляции в остатках.

В последнем случае исследовать причинно-следственные связи переменных по остаткам нельзя, получим ложную корреляцию.

При нарушении гомоскедастичности (т.е. наличие гетероскедастичности) и наличии автокорреляции остатков рекомендуется традиционный метод наименьших квадратов (МНК), который проводится по исходным данным, заменять обобщенным методом наименьших квадратов (ОМНК), который проводится по преобразованным данным.

4.1. Автокорреляция уровней временного ряда

(4.1)

Где

Эту величину называют коэффициентом автокорреляции уровней ряда первого порядка, так как он измеряет зависимость между соседними уровнями ряда и
.

Аналогично можно определить коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков. Так, коэффициент автокорреляции второго порядка характеризует тесноту связи между уровнями и
и определяется по формуле:

(4.2)

где

(7.1.)

где
, а
.

Число периодов , по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом . С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Считается целесообразным для обеспечения статистической достоверности коэффициентов автокорреляции использовать правило – максимальный лаг должен быть не больше
.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называется коррелограммой .

Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию . Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка , то ряд содержит циклические колебания с периодичностью в моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ. Поэтому коэффициент автокорреляции уровней и автокорреляционную функцию целесообразно использовать для выявления во временном ряде наличия или отсутствия трендовой компоненты и циклической (сезонной) компоненты.

Рассмотрим пример . Пусть имеются некоторые условные данные об общем количестве правонарушений на таможне одного из субъектов РФ (например, Республики Татарстан).

Таблица 4.1

Построим поле корреляции:

Рис. 4.4.

Уже исходя из графика видно, что значения образуют пилообразную фигуру. Рассчитаем несколько последовательных коэффициентов автокорреляции. Для этого составляем первую вспомогательную таблицу.

Таблица 4.2

Следует заметить, что среднее значение получается путем деления не на 16, а на 15, т.к. у нас теперь на одно наблюдение меньше.

Теперь вычисляем коэффициент автокорреляции первого порядка по формуле (4.1):

Составляем вспомогательную таблицу для расчета коэффициента автокорреляции второго порядка.

Таблица 4.3

Следовательно

Аналогично находим коэффициенты автокорреляции более высоких порядков, а все полученные значения заносим в сводную таблицу.

Таблица 4.4

Коррелограмма:

Рис. 4.5.

Анализ коррелограммы и графика исходных уровней временного ряда позволяет сделать вывод о наличии в изучаемом временном ряде сезонных колебаний периодичностью в четыре квартала.

Автокорреляция уровней временного ряда

При наличии во временном ряде тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда.

Количественно ее можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени.

Формула для расчета коэффициента автокорреляции имеет вид:

Эту величину называют коэффициентом автокорреляции уровней ряда первого порядка, так как он измеряет зависимость между соседними уровнями ряда и .

Аналогично можно определить коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков. Так, коэффициент автокорреляции второго порядка характеризует тесноту связи между уровнями и и определяется по формуле:

Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Считается целесообразным для обеспечения статистической достоверности коэффициентов автокорреляции использовать правило – максимальный лаг должен быть не больше .

Свойства коэффициента автокорреляции.

Он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка или экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю.

По знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержат положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называется коррелограммой.

Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, а следовательно, и лаг, при котором связь между текущим и предыдущими уровнями ряда наиболее тесная, т.е. при помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда.

Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка , то ряд содержит циклические колебания с периодичностью в моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ. Поэтому коэффициент автокорреляции уровней и автокорреляционную функцию целесообразно использовать для выявления во временном ряде наличия или отсутствия трендовой компоненты и циклической (сезонной) компоненты.

Автокорреляция во временных рядах

Для характеристики динамики изменения экономических показателей часто используется понятие автокорреляции , которая характеризует не только взаимозависимость уровней одного и того же ряда, относящихся к разным моментам наблюдений, но и степень устойчивости развития процесса во времени, величину оптимального периода прогнозирования и т.п.

Степень тесноты статистической связи между уровнями временного ряда, сдвинутыми на t единиц времени определяется величиной коэффициента корреляции , так как измеряет тесноту связи между уровнями одного и того же временного ряда, поэтому его принято называть . График автокорреляционной функции называется корреллограммой .

Выборочный коэффициент автокорреляции вычисляется по формуле:

(3.4.13)

Для расчета коэффициента автокорреляции по формуле (3.4.12) в Excel можно воспользоваться функцией КОРРЕЛ. Предположим, что базовая переменная включает диапазон А1:А34.

Тогда коэффициент автокорреляции равен:

КОРРЕЛ (А1:А33; А2:А34).

На практике, как правило, при вычислении автокорреляции используется формула (3.4.13).

Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы поз­воляет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, т.е. при помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограм­мы можно выявить структуру ряда.

Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреля­ции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенден­цию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорре­ляции порядка t, то ряд содержит циклические колебания с перио­дичностью в t моментов времени.

Если ни один из коэффициен­тов автокорреляции не является значимым, то можно сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и сезонных колебаний, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ. Поэтому коэффициент автокорреляции уровней и автокорреля­ционную функцию целесообразно использовать для выявления во временном ряде наличия или отсутствия трендовой компонен­ты (f(t)) и сезонной компоненты (S).

Пример 3.4.3. Анализ временного ряда валового внутреннего продукта

Валовой внутренний продукт (ВВП ) – представляет собой на стадии производства сумму добавленных стоимостей отраслей экономики, а на стадии использования – стоимость товаров и услуг, предназначенных для конечного потребления, накопления и экспорта.

В качестве исходной информации используются данные: номинальный объем валового внутреннего продукта, млрд. руб. (с 1998 г млн. руб.) – квартальные данные с 1994:1 по 2003:1 (Табл. 3.4.7). График этого ряда приведен на рис.3.4.6.

Из него видно, что данные обладают повышающим трендом. Таким образом, уже визуальный анализ позволяет сделать вывод о нестационарности исходного временного ряда.

Проверим данное предположение, вычислим коэффициенты автокорреляции (табл. 3.4.8) и построим график автокорреляционной функции временного ряда ВВП (коррелограмму) (см. Рис. 3.4.7).

Табл. 3.4.7. ВВП[

Табл. 3.4.8.

Рис. 3.4.7. Коррелограмма.

Коррелограмма автокорреляционной функции в случае стационарного временного ряда должна быстро убывать с ростом t после нескольких первых значений. Рис. 3.4.7 показывает, что исследуемый ряд не является стационарным. Временной ряд валового внутреннего продукта содержит трендовую компоненту.

Временной ряд (ряд динамики) – это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времени. Каждый уровень временного ряда формируется под воздействием большого числа факторов, которые условно можно подразделить на три группы:

факторы, формирующие тенденцию ряда;

факторы, формирующие циклические колебания ряда;

случайные факторы.

При различных сочетаниях в изучаемом явлении или процессе этих факторов зависимость уровней ряда от времени может принимать различные формы.

Во-первых, большинство временных рядов экономических показателей имеют тенденцию, характеризующую совокупное долговременное воздействие множества факторов на динамику изучаемого показателя. Очевидно, что эти факторы, взятые в отдельности, могут оказывать разнонаправленное воздействие на исследуемый показатель. Однако в совокупности они формируют его возрастающую или убывающую тенденцию.

Во-вторых, изучаемый показатель может быть подвержен циклическим колебаниям. Эти колебания могут носить сезонный характер, поскольку экономическая деятельность ряда отраслей экономики зависит от времени года (например, цены на сельскохозяйственную продукцию в летний период выше, чем в зимний; уровень безработицы в курортных городах в зимний период выше по сравнению с летним). При наличии больших массивов данных за длительные промежутки времени можно выявить циклические колебания, связанные с общей динамикой конъюнктуры рынка, а также с фазой бизнес-цикла, в которой н
аходится экономика страны.

Некоторые временные ряды не содержат тенденции и циклической компоненты, а каждый следующий их уровень образуется как сумма среднего уровня ряда и некоторой (положительной или отрицательной) случайной компоненты.

Очевидно, что реальные данные не следуют целиком и полностью из каких-либо описанных выше моделей. Чаще всего они содержат все три компоненты. Каждый их уровень формируется под воздействием тенденции, сезонных колебаний и случайной компоненты.

В большинстве случаев фактический уровень временного ряда можно представить как сумму или произведение трендовой, циклической и случайной компонент. Модель, в которой временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, называется аддитивной моделью временного ряда. Модель, в которой временной ряд представлен как произведение перечисленных компонент, называется мультипликативной моделью временного ряда. Основная задача отдельного временного ряда – выявление и придание количественного выражения каждой из перечисленных выше компонент с тем, чтобы использовать полученную информацию для прогнозирования будущих значений ряда или при построении моделей взаимосвязи двух или более временных рядов.

§ 5.2. Автокорреляция уровней временного ряда и выявление его структуры

При наличии во временном ряде тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда .

Количественно ее можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени. Рассмотрим пример.

Пример 1. Расчет коэффициентов автокорреляции уровней для временного ряда расходов на конечное потребление .

Пусть имеются следующие условные данные о средних расходах на конечное потребление (, д. е.) за 8 лет (таблица 1).

Таблица 1

Расчет коэффициента автокорреляции первого порядка для временного ряда расходов на конечное потребление, д. е.

Разумно предположить, что расходы на конечное потребление в текущем году зависят от расходов на конечное потребление предыдущих лет.

Определим коэффициент корреляции между рядами и
и измерим тесноту связи между расходами на конечное потребление текущего и предыдущего годов. Добавим в табл. 1 временной ряд
.

Одна из рабочих формул для расчета коэффициента корреляции имеет вид:

.

В качестве переменной мы рассмотрим ряд
, в качестве переменной– ряд
. Тогда приведенная выше формула примет вид

,

Эту величину называют коэффициентом автокорреляции уровней ряда первого порядка , так как он измеряет зависимость между соседними уровнями ряда и
, т. е. при лаге 1.

Для данных примера 1 соотношения (2) составят:

Используя формулу (1), получаем коэффициент автокорреляции первого порядка:

.

Полученное значение свидетельствует об очень тесной зависимости между расходами на конечное потребление текущего и непосредственно предшествующего годов и, следовательно, о наличии во временном ряде расходов на конечное потребление сильной линейной тенденции.

Аналогично можно определить коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков. Так, коэффициент автокорреляции второго порядка характеризует тесноту связи между уровнями и
и определяется по формуле

,

,

Для данных из примера 1 получим:

Построим табл. 2.

Полученные результаты еще раз подтверждают вывод о том, что ряд расходов на конечное потребление содержит линейную тенденцию.

Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом . С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Некоторые авторы считают целесообразным для обеспечения статистической достоверности коэффициентов автокорреляции использовать правило – максимальный лаг должен быть не больше
.

Подставив полученные значения в формулу (3), имеем:

.

Таблица 2

Расчет коэффициента автокорреляции второго порядка для временного ряда расходов на конечное потребление, д. е.

Отметим два важных свойства коэффициента автокорреляции:

Во-первых, он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка или экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю.

Во-вторых, по знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержит положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда . График зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называется коррелограммой .

Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, а следовательно, и лаг, при котором связь между текущим и предыдущими уровнями ряда наиболее тесная, т.е. при помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда.

Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка, ряд содержит циклические колебания с периодичностью вмоментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ. Поэтому коэффициент автокорреляции уровней и автокорреляционную функцию целесообразно использовать для выявления во временном ряде наличия или отсутствия трендовой компоненты () и циклической (сезонной) компоненты ().

Временной ряд расходов на конечное потребление, рассмотренный нами в примере 1, содержит только тенденцию, так как коэффициенты автокорреляции его уровней высокие.

Пример 2 Автокорреляционная функция и выявление структуры ряда.

Пусть имеются условные данные об объемах потребления электроэнергии жителями региона за 16 кварталов (табл. 3).

Таблица 3

Потребление электроэнергии жителями региона, млн. кВт ч

Нанесем эти значения на график:

Определим коэффициент корреляции первого порядка. Он составит:
. Отметим, что расчет этого коэффициента производился по 15, а не по 16 парам наблюдений. Это значение свидетельствует о слабой зависимости текущих уровней ряда от непосредственно им предшествующих уровней. Однако, как следует из графика, структура этого ряда такова, что каждый следующий уровеньзависит от уровня
и
в гораздо большей степени, чем от уровня
. Рассчитаем коэффициенты автокорреляции до порядка 8. Получим автокорреляционную функцию этого ряда. Ее значения и коррелограмма приведены в таблице 4.

Таблица 4

Коррелограмма временного ряда потребления электроэнергии

Анализ значений автокорреляционной функции позволяет сделать вывод о наличии в изучаемом временном ряде, во-первых , линейной тенденции, во-вторых , сезонных колебаний периодичностью в четыре квартала. Данный вывод подтверждается и графическим анализом структуры ряда (см. график).

Аналогично, если, например, при анализе временного ряда наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции уровней второго порядка, ряд одержит циклические колебания в два периода времени, т.е. имеет пилообразную структуру .