Чему равна дисперсия значений стандартизированной переменной. Дисперсия и стандартное отклонение в MS EXCEL

Часто в статистике при анализе какого-либо явления или процесса необходимо учитывать не только информацию о средних уровнях исследуемых показателей, но и разброс или вариацию значений отдельных единиц , которая является важной характеристикой изучаемой совокупности.

В наибольшей степени вариации подвержены курсы акций, объемы спроса и предложения, процентные ставки в разные периоды времени и в разных местах.

Основными показателями, характеризующими вариацию , являются размах, дисперсия, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.

Размах вариации представляет собой разность максимального и минимального значений признака: R = Xmax – Xmin . Недостатком данного показателя является то, что он оценивает только границы варьирования признака и не отражает его колеблемость внутри этих границ.

Дисперсия лишена этого недостатка. Она рассчитывается как средний квадрат отклонений значений признака от их средней величины:

Упрощенный способ расчета дисперсии осуществляется с помощью следующих формул (простой и взвешенной):

Примеры применения данных формул представлены в задачах 1 и 2.

Широко распространенным на практике показателем является среднее квадратическое отклонение :

Среднее квадратическое отклонение определяется как квадратный корень из дисперсии и имеет ту же размеренность, что и изучаемый признак.

Рассмотренные показатели позволяют получить абсолютное значение вариации, т.е. оценивают ее в единицах измерения исследуемого признака. В отличие от них, коэффициент вариации измеряет колеблемость в относительном выражении - относительно среднего уровня, что во многих случаях является предпочтительнее.

Формула для расчета коэффициента вариации.

Примеры решения задач по теме «Показатели вариации в статистике»

Задача 1 . При изучении влияния рекламы на размер среднемесячного вклада в банках района обследовано 2 банка. Получены следующие результаты:

Определить:
1) для каждого банка: а) средний размер вклада за месяц; б) дисперсию вклада;
2) средний размер вклада за месяц для двух банков вместе;
3) Дисперсию вклада для 2-х банков, зависящую от рекламы;
4) Дисперсию вклада для 2-х банков, зависящую от всех факторов, кроме рекламы;
5) Общую дисперсию используя правило сложения;
6) Коэффициент детерминации;
7) Корреляционное отношение.

Решение

1) Составим расчетную таблицу для банка с рекламой . Для определения среднего размера вклада за месяц найдем середины интервалов. При этом величина открытого интервала (первого) условно приравнивается к величине интервала, примыкающего к нему (второго).

Средний размер вклада найдем по формуле средней арифметической взвешенной:

29 000/50 = 580 руб.

Дисперсию вклада найдем по формуле:

23 400/50 = 468

Аналогичные действия произведем для банка без рекламы :

2) Найдем средний размер вклада для двух банков вместе. Хср =(580×50+542,8×50)/100 = 561,4 руб.

3) Дисперсию вклада, для двух банков, зависящую от рекламы найдем по формуле: σ 2 =pq (формула дисперсии альтернативного признака). Здесь р=0,5 – доля факторов, зависящих от рекламы; q=1-0,5, тогда σ 2 =0,5*0,5=0,25.

4) Поскольку доля остальных факторов равна 0,5, то дисперсия вклада для двух банков, зависящая от всех факторов кроме рекламы тоже 0,25.

5) Определим общую дисперсию, используя правило сложения.

= (468*50+636,16*50)/100=552,08

= [(580-561,4)250+(542,8-561,4)250] / 100= 34 596/ 100=345,96

σ 2 = σ 2 факт + σ 2 ост = 552,08+345,96 = 898,04

6) Коэффициент детерминации η 2 = σ 2 факт / σ 2 = 345,96/898,04 = 0,39 = 39% - размер вклада на 39% зависит от рекламы.

7) Эмпирическое корреляционное отношение η = √η 2 = √0,39 = 0,62 – связь достаточно тесная.

Задача 2 . Имеется группировка предприятий по величине товарной продукции:

Определить: 1) дисперсию величины товарной продукции; 2) среднее квадратическое отклонение; 3) коэффициент вариации.

Решение

1) По условию представлен интервальный ряд распределения. Его необходимо выразить дискретно, то есть найти середину интервала (х"). В группах закрытых интервалов середину найдем по простой средней арифметической. В группах с верхней границей - как разность между этой верхней границей и половиной размера следующего за ним интервала (200-(400-200):2=100).

В группах с нижней границей – суммой этой нижней границы и половины размера предыдущего интервала (800+(800-600):2=900).

Расчет средней величины товарной продукции делаем по формуле:

Хср = k×((Σ((х"-a):k)×f):Σf)+a. Здесь а=500 - размер варианта при наибольшей частоте, k=600-400=200 - размер интервала при наибольшей частоте. Результат поместим в таблицу:

Итак, средняя величина товарной продукции за изучаемый период в целом равна Хср = (-5:37)×200+500=472,97 тыс. руб.

2) Дисперсию найдем по следующей формуле:

σ 2 = (33/37)*2002-(472,97-500)2 = 35 675,67-730,62 = 34 945,05

3) среднее квадратическое отклонение: σ = ±√σ 2 = ±√34 945,05 ≈ ±186,94 тыс. руб.

4) коэффициент вариации: V = (σ /Хср)*100 = (186,94 / 472,97)*100 = 39,52%

Среди множества показателей, которые применяются в статистике, нужно выделить расчет дисперсии. Следует отметить, что выполнение вручную данного вычисления – довольно утомительное занятие. К счастью, в приложении Excel имеются функции, позволяющие автоматизировать процедуру расчета. Выясним алгоритм работы с этими инструментами.

Дисперсия – это показатель вариации, который представляет собой средний квадрат отклонений от математического ожидания. Таким образом, он выражает разброс чисел относительно среднего значения. Вычисление дисперсии может проводиться как по генеральной совокупности, так и по выборочной.

Способ 1: расчет по генеральной совокупности

Для расчета данного показателя в Excel по генеральной совокупности применяется функция ДИСП.Г . Синтаксис этого выражения имеет следующий вид:

ДИСП.Г(Число1;Число2;…)

Всего может быть применено от 1 до 255 аргументов. В качестве аргументов могут выступать, как числовые значения, так и ссылки на ячейки, в которых они содержатся.

Посмотрим, как вычислить это значение для диапазона с числовыми данными.

Способ 2: расчет по выборке

В отличие от вычисления значения по генеральной совокупности, в расчете по выборке в знаменателе указывается не общее количество чисел, а на одно меньше. Это делается в целях коррекции погрешности. Эксель учитывает данный нюанс в специальной функции, которая предназначена для данного вида вычисления – ДИСП.В. Её синтаксис представлен следующей формулой:

ДИСП.В(Число1;Число2;…)

Количество аргументов, как и в предыдущей функции, тоже может колебаться от 1 до 255.

Как видим, программа Эксель способна в значительной мере облегчить расчет дисперсии. Эта статистическая величина может быть рассчитана приложением, как по генеральной совокупности, так и по выборке. При этом все действия пользователя фактически сводятся только к указанию диапазона обрабатываемых чисел, а основную работу Excel делает сам. Безусловно, это сэкономит значительное количество времени пользователей.

Дисперсия в статистике находится как индивидуальных значений признака в квадрате от . В зависимости от исходных данных она определяется по формулам простой и взвешенной дисперсий:

1. (для несгруппированных данных) вычисляется по формуле:

2. Взвешенная дисперсия (для вариационного ряда):

где n — частота (повторяемость фактора Х)

Пример нахождения дисперсии

На данной странице описан стандартный пример нахождения дисперсии, также Вы можете посмотреть другие задачи на её нахождение

Пример 1. Имеются следующие данные по группе из 20 студентов заочного отделения. Нужно построить интервальный ряд распределения признака, рассчитать среднее значение признака и изучить его дисперсию

Построим интервальную группировку. Определим размах интервала по формуле:

где X max– максимальное значение группировочного признака;
X min–минимальное значение группировочного признака;
n – количество интервалов:

Принимаем n=5. Шаг равен: h = (192 — 159)/ 5 = 6,6

Составим интервальную группировку

Для дальнейших расчетов построим вспомогательную таблицу:

X’i– середина интервала. (например середина интервала 159 – 165,6 = 162,3)

Среднюю величину роста студентов определим по формуле средней арифметической взвешенной:

Определим дисперсию по формуле:

Формулу дисперсии можно преобразовать так:

Из этой формулы следует, что дисперсия равна разности средней из квадратов вариантов и квадрата и средней.

Дисперсия в вариационных рядах с равными интервалами по способу моментов может быть рассчитана следующим способом при использовании второго свойства дисперсии (разделив все варианты на величину интервала). Определении дисперсии , вычисленной по способу моментов, по следующей формуле менее трудоемок:

где i - величина интервала;
А - условный ноль, в качестве которого удобно использовать середину интервала, обладающего наибольшей частотой;
m1 — квадрат момента первого порядка;
m2 — момент второго порядка

(если в статистической совокупности признак изменяется так, что имеются только два взаимно исключающих друг друга варианта, то такая изменчивость называется альтернативной) может быть вычислена по формуле:

Подставляя в данную формулу дисперсии q =1- р, получаем:

Виды дисперсии

Общая дисперсия измеряет вариацию признака по всей совокупности в целом под влиянием всех факторов, обуславливающих эту вариацию. Она равняется среднему квадрату отклонений отдельных значений признака х от общего среднего значения х и может быть определена как простая дисперсия или взвешенная дисперсия.

характеризует случайную вариацию, т.е. часть вариации, которая обусловлена влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки. Такая дисперсия равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака внутри группы X от средней арифметической группы и может быть вычислена как простая дисперсия или как взвешенная дисперсия.

Таким образом, внутригрупповая дисперсия измеряет вариацию признака внутри группы и определяется по формуле:

где хi - групповая средняя;
ni - число единиц в группе.

Например, внутригрупповые дисперсии, которые надо определить в задаче изучения влияния квалификации рабочих на уровень производительности труда в цехе показывают вариации выработки в каждой группе, вызванные всеми возможными факторами (техническое состояние оборудования, обеспеченность инструментами и материалами, возраст рабочих, интенсивность труда и т.д.), кроме отличий в квалификационном разряде (внутри группы все рабочие имеют одну и ту же квалификацию).

Средняя из внутри групповых дисперсий отражает случайную , т. е. ту часть вариации, которая происходила под влиянием всех прочих факторов, за исключением фактора группировки. Она рассчитывается по формуле:

Характеризует систематическую вариацию результативного признака, которая обусловлена влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки. Она равняется среднему квадрату отклонений групповых средних от общей средней. Межгрупповая дисперсия рассчитывается по формуле:

Правило сложения дисперсии в статистике

Согласно правилу сложения дисперсий общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповых дисперсий:

Смысл этого правила заключается в том, что общая дисперсия, которая возникает под влиянием всех факторов, равняется сумме дисперсий, которые возникают под влиянием всех прочих факторов, и дисперсии, возникающей за счет фактора группировки.

Пользуясь формулой сложения дисперсий, можно определить по двум известным дисперсиям третью неизвестную, а также судить о силе влияния группировочного признака.

Свойства дисперсии

1. Если все значения признака уменьшить (увеличить) на одну и ту же постоянную величину, то дисперсия от этого не изменится.
2. Если все значения признака уменьшить (увеличить) в одно и то же число раз n, то дисперсия соответственно уменьшится (увеличить) в n^2 раз.

Дисперсия случайной величины - мера разброса данной случайной величины , то есть её отклонения от математического ожидания. В статистике для обозначения дисперсии часто употребляется обозначение (сигма в квадрате). Квадратный корень из дисперсии , равный , называется стандартным отклонением или стандартным разбросом. Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения.

Хотя для оценки всей выборки очень удобно использовать лишь одно значение (такое как среднее значение или моду и медиану), этот подход легко может привести к неправильным выводам. Причина такого положения лежит не в самой величине, а в том, что одна величина никак не отражает разброс значений данных.

Например, в выборке:

среднее значение равно 5.

Однако, в самой выборке нет ни одного элемента со значением 5. Возможно, Вам потребуется знать степень близости каждого элемента выборки к ее среднему значению. Или, другими словами, вам потребуется знать дисперсию значений. Зная степень изменения данных, Вы можете лучше интерпретировать среднее значение , медиану и моду . Степень изменения значений выборки определяется путем вычисления их дисперсии и стандартного отклонения.

Дисперсия и квадратный корень из дисперсии, называемый стандартным отклонением, характеризуют среднее отклонение от среднего значения выборки. Среди этих двух величин наибольшее значение имеет стандартное отклонение . Это значение можно представить как среднее расстояние, на котором находятся элементы от среднего элемента выборки.

Дисперсию трудно интерпретировать содержательно. Однако, квадратный корень из этого значения является стандартным отклонением и хорошо поддается интерпретации.

Стандартное отклонение вычисляется путем определения сначала дисперсии и затем вычисления квадратного корня из дисперсии.

Например, для массива данных, приведенных на рисунке, будут получены следующие значения:

Рисунок 1

Здесь среднее значение квадратов разностей равно 717,43. Для получения стандартного отклонения осталось лишь взять квадратный корень из этого числа.

Результат составит приблизительно 26,78.

Следует помнить, что стандартное отклонение интерпретируется как среднее расстояние, на котором находятся элементы от среднего значения выборки.

Стандартное отклонение показывает, насколько хорошо среднее значение описывает всю выборку.

Допустим, Вы являетесь руководителем производственного отдела по сборке ПК. В квартальном отчете говорится, что выпуск за последний квартал составил 2500 ПК. Плохо это или хорошо? Вы попросили (или уже в отчете есть эта графа) в отчете отобразить стандартное отклонение по этим данным. Цифра стандартного отклонения, например, равна 2000. Становится понятным для Вас, как руководителя отдела, что производственная линия требует лучшего управления (слишком большие отклонения по количеству собираемых ПК).

Вспомним: при большой величине стандартного отклонения данные широко разбросаны относительно среднего значения, а при маленькой – они группируются близко к среднему значению.

Четыре статистические функции ДИСП(), ДИСПР(), СТАНДОТКЛОН() и СТАНДОТКЛОНП() – предназначены для вычисления дисперсии и стандартного отклонения чисел в интервале ячеек. Перед тем как вычислять дисперсию и стандартное отклонение набора данных, нужно определить, представляют ли эти данные генеральную совокупность или выборку из генеральной совокупности. В случае выборки из генеральной совокупности следует использовать функции ДИСП() и СТАНДОТКЛОН(), а в случае генеральной совокупности – функции ДИСПР() и СТАНДОТЛОНП():

Генеральная совокупность	Функция
	ДИСПР()
	СТАНДОТЛОНП()
Выборка
	ДИСП()
	СТАНДОТКЛОН()

Дисперсия (а так же стандартное отклонение), как мы отмечали, свидетельствуют о том, в какой степени входящие в набор данных величины разбросаны вокруг среднего арифметического.

Малое значение дисперсии или стандартного отклонения говорит о том, что все данные сосредоточены вокруг среднего арифметического, а большое значение этих величин – о том, что данные разбросаны в широком диапазоне значений.

Дисперсию достаточно трудно интерпретировать содержательно (что значит малое значение, большое значение?). Выполнение Задания 3 позволит визуально, на графике, показать смысл дисперсии для набора данных.

Задания

· Задание 1.

· 2.1. Дать понятия: дисперсия и стандартное отклонение; их символьное обозначение при статистической обработке данных.

· 2.2. Оформить рабочий лист в соответствии с рисунком 1 и произвести необходимые расчеты.

· 2.3. Привести основные формулы, используемые при расчетах

· 2.4. Пояснить все обозначения ( , , )

· 2.5. Пояснить практическое значение понятия дисперсия и стандартное отклонение.

Задание 2.

1.1. Дать понятия: генеральная совокупность и выборка; математическое ожидание и среднее арифметическое их символьное обозначение при статистической обработке данных.

1.2. В соответствии с рисунком 2 оформить рабочий лист и произвести расчеты.

1.3. Привести основные формулы, используемые при расчетах (для генеральной совокупности и выборке).

Рисунок 2

1.4. Объяснить, почему возможны получения таких значений средних арифметических в выборках как 46,43 и 48,78 (см. файл Приложение). Сделать выводы.

Задание 3.

Имеется две выборки с различным набором данных, но среднее для них будет одинаковым:

Рисунок 3

3.1. Оформить рабочий лист в соответствии с рисунком 3 и произвести необходимые расчеты.

3.2. Приведите основные формулы расчета.

3.3. Постройте графики в соответствии с рисунками 4, 5.

3.4. Поясните полученные зависимости.

3.5. Аналогичные вычисления проведите для данных двух выборок.

Исходная выборка 11119999

Значения второй выборки подбираете так, что бы среднее арифметическое для второй выборки было таким же, например,:

Подберите значения для второй выборки самостоятельно. Оформите вычисления и построения графиков подобно рисункам 3, 4, 5. Покажите основные формулы, которые использовали при вычислениях.

Сделайте соответствующие выводы.

Все задания оформить в виде отчета со всеми необходимыми рисунками, графиками, формулами и краткими пояснениями.

Примечание: построение графиков обязательно пояснить с рисунками и краткими пояснениями.

Шаги

Вычисление дисперсии выборки

1. Запишите значения выборки. В большинстве случаев статистикам доступны только выборки определенных генеральных совокупностей. Например, как правило, статистики не анализируют расходы на содержание совокупности всех автомобилей в России – они анализируют случайную выборку из нескольких тысяч автомобилей. Такая выборка поможет определить средние расходы на автомобиль, но, скорее всего, полученное значение будет далеко от реального.

   • Например, проанализируем количество булочек, проданных в кафе за 6 дней, взятых в случайном порядке. Выборка имеет следующий вид: 17, 15, 23, 7, 9, 13. Это выборка, а не совокупность, потому что у нас нет данных о проданных булочках за каждый день работы кафе.
   • Если вам дана совокупность, а не выборка значений, перейдите к следующему разделу.

2. Запишите формулу для вычисления дисперсии выборки. Дисперсия является мерой разброса значений некоторой величины. Чем ближе значение дисперсии к нулю, тем ближе значения сгруппированы друг к другу. Работая с выборкой значений, используйте следующую формулу для вычисления дисперсии:

   • s 2 {\displaystyle s^{2}} = ∑[( x i {\displaystyle x_{i}} - x̅) 2 {\displaystyle ^{2}} ] / (n - 1)
   • s 2 {\displaystyle s^{2}} – это дисперсия. Дисперсия измеряется в квадратных единицах измерения.
   • x i {\displaystyle x_{i}} – каждое значение в выборке.
   • x i {\displaystyle x_{i}} нужно вычесть x̅, возвести в квадрат, а затем сложить полученные результаты.
   • x̅ – выборочное среднее (среднее значение выборки).
   • n – количество значений в выборке.

3. Вычислите среднее значение выборки. Оно обозначается как x̅. Среднее значение выборки вычисляется как обычное среднее арифметическое: сложите все значения в выборке, а затем полученный результат разделите на количество значений в выборке.

   • В нашем примере сложите значения в выборке: 15 + 17 + 23 + 7 + 9 + 13 = 84
     Теперь результат разделите на количество значений в выборке (в нашем примере их 6): 84 ÷ 6 = 14.
     Выборочное среднее x̅ = 14.
   • Выборочное среднее – это центральное значение, вокруг которого распределены значения в выборке. Если значения в выборке группируются вокруг выборочного среднего, то дисперсия мала; в противном случае дисперсия велика.

4. Вычтите выборочное среднее из каждого значения в выборке. Теперь вычислите разность x i {\displaystyle x_{i}} - x̅, где x i {\displaystyle x_{i}} – каждое значение в выборке. Каждый полученный результат свидетельствует о мере отклонения конкретного значения от выборочного среднего, то есть как далеко это значение находится от среднего значения выборки.

   • В нашем примере:
     x 1 {\displaystyle x_{1}} - x̅ = 17 - 14 = 3
     x 2 {\displaystyle x_{2}} - x̅ = 15 - 14 = 1
     x 3 {\displaystyle x_{3}} - x̅ = 23 - 14 = 9
     x 4 {\displaystyle x_{4}} - x̅ = 7 - 14 = -7
     x 5 {\displaystyle x_{5}} - x̅ = 9 - 14 = -5
     x 6 {\displaystyle x_{6}} - x̅ = 13 - 14 = -1
   • Правильность полученных результатов легко проверить, так как их сумма должна равняться нулю. Это связано с определением среднего значения, так как отрицательные значения (расстояния от среднего значения до меньших значений) полностью компенсируются положительными значениями (расстояниями от среднего значения до больших значений).

5. Как отмечалось выше, сумма разностей x i {\displaystyle x_{i}} - x̅ должна быть равна нулю. Это означает, что средняя дисперсия всегда равна нулю, что не дает никакого представления о разбросе значений некоторой величины. Для решения этой проблемы возведите в квадрат каждую разность x i {\displaystyle x_{i}} - x̅. Это приведет к тому, что вы получите только положительные числа, которые при сложении никогда не дадут 0.

   • В нашем примере:
     ( x 1 {\displaystyle x_{1}} - x̅) 2 = 3 2 = 9 {\displaystyle ^{2}=3^{2}=9}
     (x 2 {\displaystyle (x_{2}} - x̅) 2 = 1 2 = 1 {\displaystyle ^{2}=1^{2}=1}
     9 2 = 81
     (-7) 2 = 49
     (-5) 2 = 25
     (-1) 2 = 1
   • Вы нашли квадрат разности - x̅) 2 {\displaystyle ^{2}} для каждого значения в выборке.

6. Вычислите сумму квадратов разностей. То есть найдите ту часть формулы, которая записывается так: ∑[( x i {\displaystyle x_{i}} - x̅) 2 {\displaystyle ^{2}} ]. Здесь знак Σ означает сумму квадратов разностей для каждого значения x i {\displaystyle x_{i}} в выборке. Вы уже нашли квадраты разностей (x i {\displaystyle (x_{i}} - x̅) 2 {\displaystyle ^{2}} для каждого значения x i {\displaystyle x_{i}} в выборке; теперь просто сложите эти квадраты.

   • В нашем примере: 9 + 1 + 81 + 49 + 25 + 1 = 166 .

7. Полученный результат разделите на n - 1, где n – количество значений в выборке. Некоторое время назад для вычисления дисперсии выборки статистики делили результат просто на n; в этом случае вы получите среднее значение квадрата дисперсии, которое идеально подходит для описания дисперсии данной выборки. Но помните, что любая выборка – это лишь небольшая часть генеральной совокупности значений. Если взять другую выборку и выполнить такие же вычисления, вы получите другой результат. Как выяснилось, деление на n - 1 (а не просто на n) дает более точную оценку дисперсии генеральной совокупности, в чем вы и заинтересованы. Деление на n – 1 стало общепринятым, поэтому оно включено в формулу для вычисления дисперсии выборки.

   • В нашем примере выборка включает 6 значений, то есть n = 6.
     Дисперсия выборки = s 2 = 166 6 − 1 = {\displaystyle s^{2}={\frac {166}{6-1}}=} 33,2

8. Отличие дисперсии от стандартного отклонения. Заметьте, что в формуле присутствует показатель степени, поэтому дисперсия измеряется в квадратных единицах измерения анализируемой величины. Иногда такой величиной довольно сложно оперировать; в таких случаях пользуются стандартным отклонением, которое равно квадратному корню из дисперсии. Именно поэтому дисперсия выборки обозначается как s 2 {\displaystyle s^{2}} , а стандартное отклонение выборки – как s {\displaystyle s} .

   • В нашем примере стандартное отклонение выборки: s = √33,2 = 5,76.

   Вычисление дисперсии совокупности

   1. Проанализируйте некоторую совокупность значений. Совокупность включает в себя все значения рассматриваемой величины. Например, если вы изучаете возраст жителей Ленинградской области, то совокупность включает возраст всех жителей этой области. В случае работы с совокупностью рекомендуется создать таблицу и внести в нее значения совокупности. Рассмотрим следующий пример:

      • В некоторой комнате находятся 6 аквариумов. В каждом аквариуме обитает следующее количество рыб:
        x 1 = 5 {\displaystyle x_{1}=5}
        x 2 = 5 {\displaystyle x_{2}=5}
        x 3 = 8 {\displaystyle x_{3}=8}
        x 4 = 12 {\displaystyle x_{4}=12}
        x 5 = 15 {\displaystyle x_{5}=15}
        x 6 = 18 {\displaystyle x_{6}=18}

   2. Запишите формулу для вычисления дисперсии генеральной совокупности. Так как в совокупность входят все значения некоторой величины, то приведенная ниже формула позволяет получить точное значение дисперсии совокупности. Для того чтобы отличить дисперсию совокупности от дисперсии выборки (значение которой является лишь оценочным), статистики используют различные переменные:

      • σ 2 {\displaystyle ^{2}} = (∑( x i {\displaystyle x_{i}} - μ) 2 {\displaystyle ^{2}} ) / n
      • σ 2 {\displaystyle ^{2}} – дисперсия совокупности (читается как «сигма в квадрате»). Дисперсия измеряется в квадратных единицах измерения.
      • x i {\displaystyle x_{i}} – каждое значение в совокупности.
      • Σ – знак суммы. То есть из каждого значения x i {\displaystyle x_{i}} нужно вычесть μ, возвести в квадрат, а затем сложить полученные результаты.
      • μ – среднее значение совокупности.
      • n – количество значений в генеральной совокупности.

   3. Вычислите среднее значение совокупности. При работе с генеральной совокупностью ее среднее значение обозначается как μ (мю). Среднее значение совокупности вычисляется как обычное среднее арифметическое: сложите все значения в генеральной совокупности, а затем полученный результат разделите на количество значений в генеральной совокупности.

      • Имейте в виду, что средние величины не всегда вычисляются как среднее арифметическое.
      • В нашем примере среднее значение совокупности: μ = 5 + 5 + 8 + 12 + 15 + 18 6 {\displaystyle {\frac {5+5+8+12+15+18}{6}}} = 10,5

   4. Вычтите среднее значение совокупности из каждого значения в генеральной совокупности. Чем ближе значение разности к нулю, тем ближе конкретное значение к среднему значению совокупности. Найдите разность между каждым значением в совокупности и ее средним значением, и вы получите первое представление о распределении значений.

      • В нашем примере:
        x 1 {\displaystyle x_{1}} - μ = 5 - 10,5 = -5,5
        x 2 {\displaystyle x_{2}} - μ = 5 - 10,5 = -5,5
        x 3 {\displaystyle x_{3}} - μ = 8 - 10,5 = -2,5
        x 4 {\displaystyle x_{4}} - μ = 12 - 10,5 = 1,5
        x 5 {\displaystyle x_{5}} - μ = 15 - 10,5 = 4,5
        x 6 {\displaystyle x_{6}} - μ = 18 - 10,5 = 7,5

   5. Возведите в квадрат каждый полученный результат. Значения разностей будут как положительными, так и отрицательными; если нанести эти значения на числовую прямую, то они будут лежать справа и слева от среднего значения совокупности. Это не годится для вычисления дисперсии, так как положительные и отрицательные числа компенсируют друг друга. Поэтому возведите в квадрат каждую разность, чтобы получить исключительно положительные числа.

      • В нашем примере:
        ( x i {\displaystyle x_{i}} - μ) 2 {\displaystyle ^{2}} для каждого значения совокупности (от i = 1 до i = 6):
        (-5,5) 2 {\displaystyle ^{2}} = 30,25
        (-5,5) 2 {\displaystyle ^{2}} , где x n {\displaystyle x_{n}} – последнее значение в генеральной совокупности.
      • Для вычисления среднего значения полученных результатов нужно найти их сумму и разделить ее на n:(( x 1 {\displaystyle x_{1}} - μ) 2 {\displaystyle ^{2}} + ( x 2 {\displaystyle x_{2}} - μ) 2 {\displaystyle ^{2}} + ... + ( x n {\displaystyle x_{n}} - μ) 2 {\displaystyle ^{2}} ) / n
      • Теперь запишем приведенное объяснение с использованием переменных: (∑( x i {\displaystyle x_{i}} - μ) 2 {\displaystyle ^{2}} ) / n и получим формулу для вычисления дисперсии совокупности.