Доверительный интервал вокруг процентиля.  Методы количественного анализа: Оценка доверительных интервалов

И др. Все они являются оценками своих теоретических аналогов, которые можно было бы получить, если бы в распоряжении была не выборка, а генеральная совокупность. Но увы, генеральная совокупность – это очень дорого и часто недоступно.

Понятие об интервальном оценивании

Любая выборочная оценка обладает некоторым разбросом, т.к. является случайной величиной, зависящей от значений в конкретной выборке. Стало быть, для более надежных статистических выводов следует знать не только точечную оценку, но и интервал, который с высокой вероятностью γ (гамма) накрывает оцениваемый показатель θ (тета).

Формально, это два таких значения (статистики) T 1 (X) и T 2 (X) , что T 1 < T 2 , для которых при заданном уровне вероятности γ выполняется условие:

Короче, с вероятностью γ или больше истинный показатель находится между точками T 1 (X) и T 2 (X) , которые называются нижней и верхней границей доверительного интервала .

Одним из условий построения доверительных интервалов является его максимальная узость, т.е. он должен быть насколько это возможно коротким. Желание вполне естественно, т.к. исследователь старается точнее локализовать нахождение искомого параметра.

Отсюда следует, что доверительный интервал должен накрывать максимальные вероятности распределения. а сама оценка быть в центре.

То бишь вероятность отклонения (истинного показателя от оценки) в большую сторону равна вероятности отклонения в меньшую сторону. Следует также отметить, что для несимметричных распределений интервал справа не равен интервалу слева.

По рисунку выше отчетливо видно, что чем больше доверительная вероятность, тем шире интервал – прямая зависимость.

Это была небольшая вводная часть в теорию интервального оценивания неизвестных параметров. Перейдем к нахождению доверительных границ для математического ожидания.

Доверительный интервал для математического ожидания

Если исходные данные распределены по , то и среднее будет нормальной величиной. Это следует из того правила, что линейная комбинация нормальных величин также имеет нормальное распределение. Следовательно, для расчета вероятностей мы могли бы использовать математический аппарат нормального закона распределения.

Однако для этого потребуется знать два параметра – матожидание и дисперсию, которые обычно не известны. Можно, конечно, вместо параметров использовать оценки (среднюю арифметическую и ), но тогда распределение средней будет не совсем нормальным, оно будет немного приплюснуто книзу. Этот факт ловко подметил гражданин Уильям Госсет из Ирландии, опубликовав свое открытие в мартовском выпуске журнала «Biometrica» за 1908 год. В целях конспирации Госсет подписался Стьюдентом. Так появилось t-распределение Стьюдента.

Однако нормальное распределение данных, использовавшееся К. Гауссом при анализе ошибок астрономических наблюдений, в земной жизни встречается крайне редко и установить это довольно сложно (для высокой точности необходимо порядка 2 тысяч наблюдений). Поэтому предположение о нормальности лучше всего отбросить и использовать методы, не зависящие от распределения исходных данных.

Возникает вопрос: каково же распределение средней арифметической, если оно рассчитано по данным неизвестного распределения? Ответ дает известная в теории вероятностей Центральная предельная теорема (ЦПТ). В математике существует несколько ее вариантов (на протяжении долгих лет формулировки уточнялись), но все они, грубо говоря, сводятся к утверждению, что сумма большого количества независимых случайных величин подчиняется нормальному закону распределения.

При расчете средней арифметической как раз используется сумма случайных величин. Отсюда получается, что среднее арифметическое имеет нормальное распределение, у которого матожидание – это матожидание исходных данных, а дисперсия – .

Умные люди умеют доказывать ЦПТ, но мы в этом убедимся с помощью эксперимента, проведенного в Excel. Смоделируем выборку из 50-ти равномерно распределенных случайных величин (с помощью функции Excel СЛУЧМЕЖДУ). Затем сделаем 1000 таких выборок и для каждой рассчитаем среднюю арифметическую. Посмотрим на их распределение.

Видно, что распределение средней близко к нормальному закону. Если объем выборок и их количество сделать еще больше, то сходство будет еще лучше.

Теперь, когда мы воочию убедились в справедливости ЦПТ, можно, используя , рассчитать доверительные интервалы для средней арифметической, которые с заданной вероятностью накрывают истинное среднее или математическое ожидание.

Для установления верхней и нижней границы требуется знать параметры нормального распределения. Как правило, их нет, поэтому используют оценки: среднюю арифметическую и выборочную дисперсию . Повторюсь, такой способ дает хорошее приближение только при больших выборках. Когда выборки малые, часто рекомендуют использовать распределение Стьюдента. Не верьте! Распределение Стьюдента для средней бывает только тогда, когда исходные данные имеют нормальное распределение, то есть почти никогда. Поэтому лучше сразу поставить минимальную планку по количеству необходимых данных и использовать асимптотически корректные методы. Говорят, достаточно 30 наблюдений. Берите 50 – не ошибетесь.

T 1,2 – нижняя и верхняя граница доверительного интервала

– выборочное среднее арифметическое

s 0 – среднее квадратичное отклонение по выборке (несмещенное)

n – размер выборки

γ – доверительная вероятность (обычно равна 0,9, 0,95 или 0,99)

c γ =Φ -1 ((1+γ)/2) – обратное значение функции стандартного нормального распределения. По-простому говоря, это количество стандартных ошибок от средней арифметической до нижней или верхней границы (указанным трем вероятностями соответствуют значения 1,64, 1,96 и 2,58).

Суть формулы в том, что берется среднее арифметическое и далее от нее откладывается некоторое количество (с γ ) стандартных ошибок (s 0 /√n ). Все известно, бери и считай.

До массового использования ПЭВМ для получения значений функции нормального распределения и обратной ей использовали . Их и сейчас используют, но эффективнее обратиться к готовым формулам Excel. Все элементы из формулы выше ( , и ) можно легко рассчитать в Excel. Но есть и готовая формула для расчета доверительного интервала – ДОВЕРИТ.НОРМ . Ее синтаксис следующий.

ДОВЕРИТ.НОРМ(альфа;стандартное_откл;размер)

альфа – уровень значимости или доверительный уровень, который в принятых выше обозначениях равен 1- γ, т.е. вероятность того, что математическое ожидание окажется за пределами доверительного интервала. При доверительной вероятности 0,95, альфа равно 0,05 и т.д.

стандартное_откл – среднее квадратичное отклонение выборочных данных. Стандартную ошибку рассчитывать не нужно, Excel сам разделит на корень из n.

размер – размер выборки (n).

Результат функции ДОВЕРИТ.НОРМ – это второе слагаемое из формулы расчета доверительного интервала, т.е. полуинтервал. Соответственно, нижняя и верхняя точка – это среднее ± полученное значение.

Таким образом, можно построить универсальный алгоритм расчета доверительных интервалов для средней арифметической, который не зависит от распределения исходных данных. Платой за универсальность является его асимптотичность, т.е. необходимость использования относительно больших выборок. Однако в век современных технологий собрать нужное количество данных обычно не представляет трудностей.

Проверка статистических гипотез с помощью доверительного интервала

{module 111}

Одной из главных задач, решаемых в статистике, является . Ее суть вкратце такова. Выдвигается предположение, например, что матожидание генеральной совокупности равно какому-то значению. Затем строится распределение выборочных средних, которые могут наблюдаться при данном матожидании. Далее смотрят, в каком месте этого условного распределения находится реальная средняя. Если она выходит за допустимые пределы, то появление такого среднего очень маловероятно, а при однократном повторении эксперимента почти невозможно, что противоречит выдвинутой гипотезе, которая успешно отклоняется. Если же среднее не выходит за критический уровень, то гипотеза не отклоняется (но и не доказывается!).

Так вот с помощью доверительных интервалов, в нашем случае для матожидания, также можно проверять некоторые гипотезы. Это очень просто сделать. Допустим, средняя арифметическая по некоторой выборке равна 100. Проверяется гипотеза о том, что матожидание равно, допустим, 90. То есть, если поставить вопрос примитивно, то он звучит так: может ли такое быть, чтобы при истинном значении средней равной 90, наблюдаемая средняя оказалась равна 100?

Для ответа на этот вопрос дополнительно потребуется информация о среднем квадратичном отклонении и размере выборки. Допустим среднеквадратичное отклонение равно 30, а количество наблюдений 64 (чтобы легко извлечь корень). Тогда стандартная ошибка средней равна 30/8 или 3,75. Для расчета 95% доверительного интервала потребуется отложить в обе стороны от средней по две стандартные ошибки (точнее, по 1,96). Доверительный интервал получится примерно 100±7,5 или от 92,5 до 107,5.

Далее рассуждения следующие. Если проверяемое значение попадает в доверительный интервал, то оно не противоречит гипотезе, т.к. укладывается в пределы случайных колебаний (с вероятностью 95%). Если проверяемая точка выходит за пределы доверительного интервала, то вероятность такого события очень маленькая, во всяком случае ниже допустимого уровня. Значит, гипотезу отклоняют, как противоречащую наблюдаемым данным. В нашем случае гипотеза о матожидании находится за пределами доверительного интервала (проверяемое значение 90 не входит в интервал 100±7,5), поэтому ее следует отклонить. Отвечая на примитивный вопрос выше, следует сказать: нет не может, во всяком случае такое случается крайне редко. Часто при этом указывают конкретную вероятность ошибочного отклонения гипотезы (p-level), а не заданный уровень, по которому строился доверительный интервал, но об этом в другой раз.

Как видим, построить доверительный интервал для среднего (или математического ожидания) несложно. Главное, уловить суть, а дальше дело пойдет. На практике в большинстве случаев используются 95% доверительный интервал, который имеет в ширину примерно две стандартные ошибки по обе стороны от средней.

На этом пока все. Всех благ!

Доверительный интервал (ДИ; в англ, confidence interval - CI) полученный в исследовании при выборке даёт меру точности (или неопределённости) результатов исследования, для того чтобы делать выводы о популяции всех таких пациентов (генеральная совокупность). Правильное определение 95% ДИ можно сформулировать так: 95% таких интервалов будет содержать истинную величину в популяции. Несколько менее точна такая интерпретация: ДИ - диапазон величин, в пределах которого можно на 95% быть уверенным в том, что он содержит истинную величину. При использовании ДИ акцент делается на определении количественного эффекта, в противоположность величине Р, которая получается в результате проверки статистической значимости. Величина Р не оценивает никакого количества, а служит скорее мерой силы свидетельства против нулевой гипотезы «никакого эффекта». Величина Р сама по себе не говорит нам ничего ни о величине различия, ни даже о его направлении. Поэтому самостоятельные величины Р абсолютно неинформативны в статьях или рефератах. В отличие от них ДИ указывает и на количество эффекта, представляющего непосредственный интерес, например на полезность лечения, и на силу доказательств. Поэтому ДИ непосредственно имеет отношение к практике ДМ.

Подход оценки к статистическому анализу, иллюстрируемый ДИ, направлен на измерение количества интересующего нас эффекта (чувствительность диагностического теста, частота прогнозируемых случаев, сокращение относительного риска при лечении и т.д.), а также на измерение неопределённости в этом эффекте. Чаще всего ДИ - диапазон величин по обе стороны оценки, в котором, вероятно, лежит истинная величина, и можно быть уверенным в этом на 95%. Соглашение использовать 95% вероятность произвольно, также как и величину Р <0,05 для оценки статистической значимости, и авторы иногда используют 90% или 99% ДИ. Заметим, что слово «интервал» означает диапазон величин и поэтому стоит в единственном числе. Две величины, которые ограничивают интервал, называются «доверительными пределами».

ДИ основан на идее, что то же самое исследование, выполненное на других выборках пациентов, не привело бы к идентичным результатам, но что их результаты будут распределены вокруг истинной, однако неизвестной величины. Иными словами, ДИ описывает это как «вариабельность, зависящую от выборки». ДИ не отражает дополнительную неопределённости, обусловленную другими причинами; в частности, он не включает влияние селективной потери пациентов при отслеживании, плохого комплайнса или неточного измерения исхода, отсутствия «ослепления» и т.д. ДИ, таким образом, всегда недооценивает общее количество неопределённости.

Вычисление доверительного интервала

Таблица А1.1. Стандартные ошибки и доверительные интервалы для некоторых клинических измерений

Обычно ДИ вычисляют из наблюдаемой оценки количественного показателя, такого, как различие (d) между двумя пропорциями, и стандартной ошибки (SE) в оценке этого различия. Приблизительный 95% ДИ, получаемый таким образом, - d ± 1,96 SE. Формула изменяется согласно природе меры исхода и охвату ДИ. Например, в рандомизированном плацебо-контролируемом испытании бесклеточной коклюшной вакцины коклюш развивался у 72 из 1670 (4,3%) младенцев, получивших вакцину, и у 240 из 1665 (14,4%) в группе контроля. Различие в процентах, известное как абсолютное снижение риска, составляет 10,1%. SE этого различия равна 0,99%. Соответственно 95% ДИ составляет 10,1% + 1,96 х 0,99%, т.е. от 8,2 до 12,0.

Несмотря на разные философские подходы, ДИ и тесты на статистическую значимость тесно связаны математически.

Таким образом, величина Р «значимая», т.е. Р <0,05 соответствует 95% ДИ, который исключает величину эффекта, указывающую на отсутствие различия. Например, для различия между двумя средними пропорциями это ноль, а для относительного риска или отношения шансов - единица. При некоторых обстоятельствах эти два подхода могут быть не совсем эквивалентны. Преобладающая точка зрения: оценка с помощью ДИ - предпочтительный подход к суммированию результатов исследования, но ДИ и величина Р взаимодополняющи, и во многих статьях используются оба способа представления результатов.

Неопределенность (неточность) оценки, выражаемая в ДИ, в большой степени связана с квадратным корнем из размера выборки. Маленькие выборки предоставляют меньше информации, чем большие, и ДИ соответственно шире в меньшей выборке. Например, статья, сравнивающая характеристики трёх тестов, которые применяются для диагностики инфекции Helicobacter pylori , сообщила о чувствительности дыхательной пробы с мочевиной 95,8% (95% ДИ 75-100). В то время как число 95,8% выглядит внушительно, маленькая выборка из 24 взрослых пациентов с Я. pylori означает, что имеется значительная неопределенность в этой оценке, как показывает широкий ДИ. Действительно, нижний предел 75% намного ниже, чем оценка 95,8%. Если бы такая же чувствительность наблюдалась в выборке 240 человек, то 95% ДИ составлял бы 92,5-98,0, давая больше гарантий, что тест высокочувствителен.

В рандомизированных контролируемых испытаниях (РКИ) незначимые результаты (т.е. те, где Р >0,05) особенно подвержены неверному толкованию. ДИ особенно полезен здесь, поскольку он показывает, насколько совместимы результаты с клинически полезным истинным эффектом. Например, в РКИ, сравнивающем наложение анастомоза швом и скрепками на толстой кишке , раневая инфекция развилась у 10,9% и 13,5% пациентов соответственно (Р = 0,30). 95% ДИ для этого различия составляет 2,6% (от -2 до +8). Даже в этом исследовании, включавшем 652 пациента, остаётся вероятность, что существует умеренное различие в частоте инфекций, возникающих вследствие этих двух процедур. Чем меньше исследование, тем больше неуверенность. Сунг и соавт. выполнили РКИ, чтобы сравнить инфузию октреотида со срочной склеротерапией при остром кровотечении из варикозно-расширенных вен на 100 пациентах. В группе октреотида частота остановки кровотечения составила 84%; в группе склеротерапии - 90%, что даёт Р = 0,56. Заметим, что показатели продолжающегося кровотечения аналогичны таковым при раневой инфекции в упомянутом исследовании. В этом случае, однако, 95% ДИ для различия вмешательств равен 6% (от -7 до +19). Этот интервал весьма широк по сравнению с 5% различием, которое представляло бы клинический интерес. Ясно, что исследование не исключает значительной разницы в эффективности. Поэтому заключение авторов «инфузия октреотида и склеротерапия одинаково эффективны при лечении кровотечения из варикозно-расширенных вен» определённо невалидно. В подобных случаях, когда, как здесь, 95% ДИ для абсолютного снижения риска (АСР; absolute risk reduction - ARR, англ.) включает ноль, ДИ для ЧПЛП (NNT - number needed to treat, англ.) является довольно затруднительным для толкования. ЧПЛП и его ДИ получают из величин, обратных АСР (умножая их на 100, если эти величины даны в виде процентов). Здесь мы получаем ЧПЛП = 100: 6 = 16,6 с 95% ДИ от -14,3 до 5,3. Как видно из сноски «d» в табл. А1.1, этот ДИ включает величины ЧПЛП от 5,3 до бесконечности и ЧПЛВ от 14,3 до бесконечности.

ДИ можно построить для большинства обычно употребляемых статистических оценок или сравнений. Для РКИ он включает разность между средними пропорциями, относительными рисками, отношениями шансов и ЧПЛП. Аналогично ДИ можно получить для всех главных оценок, сделанных в исследованиях точности диагностических тестов - чувствительности, специфичности, прогностической значимости положительного результата (все они являются простыми пропорциями), и отношения правдоподобия - оценок, получаемых в метаанализах и исследованиях типа сравнения с контролем. Компьютерная программа для персональных компьютеров, которая покрывает многие из этих способов использования ДИ, доступна со вторым изданием «Statistics with Confidence». Макросы для вычисления ДИ для пропорций бесплатно доступны для Excel и статистических программ SPSS и Minitab на http://www.uwcm.ac.uk/study/medicine/epidemiology_ statistics/research/statistics/proportions, htm.

Множественные оценки эффекта лечения

В то время как построение ДИ желательно для первичных результатов исследования, они не обязательны для всех результатов. ДИ касается клинически важных сравнений. Например, при сравнении двух групп правилен тот ДИ, что построен для различия между группами, как показано выше в примерах, а не ДИ, который можно построить для оценки в каждой группе. Мало того, что бесполезно давать отдельные ДИ для оценок в каждой группе, это представление может вводить в заблуждение. Точно так же правильный подход при сравнении эффективности лечения в различных подгруппах - сравнение двух (или более) подгрупп непосредственно. Неправильно предполагать, что лечение эффективно только в одной подгруппе, если ее ДИ исключает величину, соответствующую отсутствию эффекта, а другие - нет . ДИ полезны также при сравнении результатов в нескольких подгруппах. На рис. А 1.1 показан относительный риск эклампсии у женщин с преэклампсией в подгруппах женщин из плацебо-контролируемого РКИ сульфата магния.

Рис. А1.2. Лесной график показывает результаты 11 рандомизированных клинических испытаний бычьей ротавирусной вакцины для профилактики диареи в сравнении с плацебо. При оценке относительного риска диареи использован 95% доверительный интервал. Размер чёрного квадрата пропорционален объёму информации. Кроме того, показана суммарная оценка эффективности лечения и 95% доверительного интервала (обозначается ромбом). В метаанализе использована модель случайных эффектов превышает некоторые предварительно установленные; например, это может быть размер, использованный при вычислении величины выборки. В соответствии с более строгим критерием весь диапазон ДИ должен показывать пользу, превышающую предустановленный минимум.

Мы уже обсуждали ошибку, когда отсутствие статистической значимости принимают как указание на то, что два способа лечения одинаково эффективны. Столь же важно не уравнивать статистическую значимость с клинической важностью. Клиническую важность можно предполагать, когда результат статистически значим и величина оценки эффективности лечения

Исследования могут показать, значимы ли результаты статистически и какие из них клинически важны, а какие - нет. На рис. А1.2 приведены результаты четырёх испытаний, для которых весь ДИ <1, т.е. их результаты статистически значимы при Р <0,05 , . После высказанного предположения о том, что клинически важным различием было бы сокращение риска диареи на 20% (ОР = 0,8), все эти испытания показали клинически значимую оценку сокращения риска, и лишь в исследовании Treanor весь 95% ДИ меньше этой величины. Два других РКИ показали клинически важные результаты, которые не были статистически значимыми. Обратите внимание, что в трёх испытаниях точечные оценки эффективности лечения были почти идентичны, но ширина ДИ различалась (отражает размер выборки). Таким образом, по отдельности доказательная сила этих РКИ различна.

Оценка доверительных интервалов

Статистика рассматривает следующие две основные задачи :

У нас есть некоторая оценка, построенная на выборочных данных, и мы хотим сделать некоторое вероятностное утверждение относительно того, где находится истинное значение оцениваемого параметра.

У нас есть конкретная гипотеза, которую необходимо проверить на основе выборочных данных.

В данной теме мы рассматриваем первую задачу. Введем также определение доверительного интервала.

Изучив материал данной темы, Вы:

узнаете, что такое доверительный интервал оценки;

научитесь классифицировать статистические задачи;

освоите технику построения доверительных интервалов, как по статистическим формулам, так и с помощью программного инструментария;

научитесь определять необходимые размеры выборок для достижения определенных параметров точности статистических оценок.

Распределения выборочных характеристик

Как обсуждали выше распределение случайной величины близко к стандартизованному нормальному распределению с параметрами 0 и 1. Поскольку нам не известна величина σ, мы заменяем ее на некоторую оценку s . Величина уже имеет другое распределение, а именно или Распределение Стьюдента , которое определяется параметром n -1 (число степеней свободы). Это распределение близко к нормальному распределению (чем больше n , тем распределения ближе).

На рис. 95
представлено распределение Стьюдента с 30 степенями свободы. Как видно, оно весьма близко к нормальному распределению.

Аналогично функциям для работы с нормальным распределением НОРМРАСП и НОРМОБР имеются функции для работы с t-распределением - СТЬЮДРАСП (TDIST) и СТЬЮДРАСПОБР (TINV) . Пример использования этих функций можно посмотреть в файле СТЬЮДРАСП.XLS (шаблон и решение ) и на рис. 96
.

Как мы уже знаем, для определения точности оценивания математического ожидания нам необходимо t-распределение. Для оценивания других параметров, например, дисперсии, требуются другие распределения. Два из них - это F-распределение и x 2 -распределение .

Доверительный интервал для среднего значения

Доверительный интервал - это интервал, который строится вокруг оценочного значения параметра и показывает, где находится истинное значение оцениваемого параметра с априори заданной вероятностью.

Построение доверительного интервала для среднего значения происходит следующим образом :

Пример

В ресторане быстрого обслуживания планируется расширить ассортимент новым видом сэндвича. Для того чтобы оценить спрос на него, менеджер случайным образом планирует выбрать 40 посетителей из тех, кто уже попробовал его и предложить им оценить их отношение к новому продукту в баллах от 1 до 10. Менеджер хочет оценить ожидаемое количество баллов, которое получит новый продукт и построить 95%-й доверительный интервал этой оценки. Как это осуществить? (см. файл СЭНДВИЧ1.XLS (шаблон и решение ).

Решение

Для решения данной задачи можно воспользоваться . Результаты представлены на рис. 97
.

Доверительный интервал для суммарного значения

Иногда по выборочным данным требуется оценить не математическое ожидание, а общую сумму значений. Например, в ситуации с аудитором интерес может представлять оценка не средней величины счета, а суммы всех счетов.

Пусть N - общее количество элементов, n - размер выборки, T 3 - сумма значений в выборке, T" - оценка для суммы по всей совокупности, тогда , а доверительный интервал вычисляется по формуле , где s - оценка стандартного отклонения для выборки, - оценка среднего для выборки.

Пример

Допустим, некоторая налоговая служба хочет оценить размер суммарных налоговых возвратов для 10 000 налогоплательщиков. Налогоплательщик либо получает возврат, либо доплачивает налоги. Найдите 95%-й доверительный интервал для суммы возврата при условии, что размер выборки составляет 500 человек (см. файл СУММА ВОЗВРАТОВ.XLS (шаблон и решение ).

Решение

В StatPro нет специальной процедуры для этого случая, однако можно заметить, что границы можно получить из границ для среднего исходя из вышеприведенных формул (рис. 98
).

Доверительный интервал для пропорции

Пусть p - математическое ожидание доли клиентов, а р в - оценка этой доли, полученная по выборке размера n. Можно показать, что для достаточно больших распределение оценки будет близко к нормальному с математическим ожиданием p и стандартным отклонением . Стандартная ошибка оценки в данном случае выражается как , а доверительный интервал как .

Пример

В ресторане быстрого обслуживания планируется расширить ассортимент новым видом сэндвича. Для того чтобы оценить спрос на него, менеджер случайным образом выбрал 40 посетителей из тех, кто уже попробовал его и предложил им оценить их отношение к новому продукту в баллах от 1 до 10. Менеджер хочет оценить ожидаемую долю клиентов, которые оценивают новый продукт не менее чем в 6 баллов (он ожидает, что именно эти клиенты и будут потребителями нового продукта).

Решение

Первоначально создаем новый столбец по признаку 1, если оценка клиента была больше 6 баллов и 0 иначе (см. файл СЭНДВИЧ2.XLS (шаблон и решение ).

Способ 1

Подсчитывая количество 1, оцениваем долю, а далее используем формулы.

Значение z кр берется из специальных таблиц нормального распределения (например, 1,96 для 95%-го доверительного интервала).

Используя данный подход и конкретные данные для построения 95%-го интервала, получим следующие результаты (рис. 99
). Критическое значение параметра z кр равно 1,96. Стандартная ошибка оценки - 0,077. Нижняя граница доверительного интервала - 0,475. Верхняя граница доверительного интервала - 0,775. Таким образом, менеджер вправе полагать с 95%-й долей уверенности, что процент клиентов, оценивших новый продукт на 6 баллов и выше, будет между 47,5 и 77,5.

Способ 2

Данная задача допускает решение стандартными средствами StatPro . Для этого достаточно заметить, что доля в данном случае совпадает со средним значением столбца Тип . Далее применим StatPro/Statistical Inference/One-Sample Analysis для построения доверительного интервала среднего значения (оценки математического ожидания) для столбца Тип . Полученные в этом случае результат, будут весьма близок к результату 1-го способа (рис. 99).

Доверительный интервал для стандартного отклонения

В качестве оценки стандартного отклонения используется s (формула приведена в разделе 1). Функцией плотности распределения оценки s является функция хи-квадрат , которая, как и t-распределение, имеет n-1 степень свободы. Имеются специальные функции для работы с этим распределением ХИ2РАСП (CHIDIST) и ХИ2ОБР (CHIINV) .

Доверительный интервал в этом случае уже будет не симметричным. Условная схема границ представлена на рис. 100 .

Пример

Станок должен производить детали диаметром 10 см. Однако в силу различных обстоятельств происходят ошибки. Контролера по качеству волнуют два обстоятельства: во-первых, среднее значение должно равняться 10 см; во-вторых, даже в этом случае, если отклонения будут велики, то многие детали будут забракованы. Ежедневно он делает выборку из 50 деталей (см. файл КОНТРОЛЬ КАЧЕСТВА.XLS (шаблон и решение ). Какие выводы может дать такая выборка?

Решение

Построим 95%-й доверительные интервалы для среднего и для стандартного отклонения с помощью StatPro/Statistical Inference/ One-Sample Analysis (рис. 101
).

Далее, используя предположение о нормальном распределении диаметров, рассчитаем долю бракованных изделий, задавшись предельным отклонением 0,065. Используя возможности таблицы подстановки (случай двух параметров), построим зависимость доли брака от среднего значения и стандартного отклонения (рис. 102
).

Доверительный интервал для разности двух средних значений

Это одно из наиболее важных применений статистических методов. Примеры ситуаций.

Менеджер магазина одежды хотел бы знать, на сколько больше или меньше тратит в магазине средняя женщина-покупатель, чем мужчина.

Две авиакомпании летают аналогичными маршрутами. Организация-потребитель хотела бы сравнить разницу между среднеожидаемыми временами задержек рейсов по обеим авиакомпаниям.

Компания рассылает купоны на отдельные виды товаров в одном городе и не рассылает в другом. Менеджеры хотят сравнить средние объемы покупок этих товаров в ближайшие два месяца.

Автомобильный дилер часто имеет дело на презентациях с замужними парами. Чтобы понять их персональную реакцию на презентацию, пары часто опрашивают отдельно. Менеджер хочет оценить разницу в рейтингах указываемых мужчинами и женщинами.

Случай независимых выборок

Разность средних значений будет иметь t-распределение с n 1 + n 2 - 2 степенями свободы. Доверительный интервал для μ 1 - μ 2 выражается соотношением:

Данная задача допускает решение не только по вышеприведенным формулам, но и стандартными средствами StatPro . Для этого достаточно применить

Доверительный интервал для разности между пропорциями

Пусть - математическое ожидание долей. Пусть - их выборочные оценки, построенные по выборкам размера n 1 и n 2 соответственно. Тогда является оценкой для разности . Следовательно, доверительный интервал этой разности выражается как:

Здесь z кр является значением, полученным из нормального распределения по специальным таблицам (например, 1,96 для 95%-й доверительного интервала).

Стандартная ошибка оценки выражается в данном случае соотношением:

.

Пример

Магазин, готовясь к большой распродаже, предпринял следующие маркетинговые исследования. Были выбраны 300 лучших покупателей, которые в свою очередь были случайным образом поделены на две группы по 150 членов в каждой. Всем из отобранных покупателей были разосланы приглашения для участия в распродаже, но только для членов первой группы был приложен купон, дающий право на скидку 5%. В ходе распродажи покупки всех 300 отобранных покупателей фиксировались. Каким образом менеджер может интерпретировать полученные результаты и сделать заключение об эффективности предоставления купонов? (см. файл КУПОНЫ.XLS (шаблон и решение )).

Решение

Для нашего конкретного случая из 150 покупателей, получивших купон на скидку, 55 сделали покупку на распродаже, а среди 150, не получивших купон, покупку сделали только 35 (рис. 103
). Тогда значения выборочных пропорций соответственно 0,3667 и 0,2333. А выборочная разность между ними равна соответственно 0,1333. Полагая доверительный интервал 95%-м, находим по таблице нормального распределения z кр = 1,96. Вычисление стандартной ошибки выборочной разности равно 0,0524. Окончательно получаем, что нижняя граница 95%-го доверительного интервала равна 0,0307, а верхняя граница 0,2359 соответственно. Полученные результаты можно интерпретировать таким образом, что на каждых 100 покупателей, получивших купон со скидкой, можно ожидать от 3 до 23 новых покупателей. Однако надо иметь в виду, что этот вывод сам по себе еще не означает эффективности применения купонов (поскольку, предоставляя скидку, мы теряем в прибыли!). Продемонстрируем это на конкретных данных. Предположим, что средний размер покупки равен 400 руб., из которых 50 руб. есть прибыль магазина. Тогда ожидаемая прибыль на 100 покупателях, не получивших купон, равна:

50 0,2333 100 = 1166,50 руб.

Аналогичные вычисления для 100 покупателей получивших купон, дают:

30 0,3667 100 = 1100,10 руб.

Уменьшение средней прибыли до 30 объясняется тем, что, используя скидку, покупатели, получившие купон, в среднем будут делать покупку на 380 руб.

Таким образом, итоговый вывод говорит о неэффективности использования таких купонов в данной конкретной ситуации.

Замечание. Данная задача допускает решение стандартными средствами StatPro . Для этого достаточно свести данную задачу к задаче оценки разности двух средних способом, а далее применить StatPro/Statistical Inference/Two-Sample Analysis для построения доверительного интервала разности двух средних значений.

Управление длиной доверительного интервала

Длина доверительного интервала зависит от следующих условий :

непосредственно данных (стандартное отклонение);

уровня значимости;

размера выборки.

Размер выборки для оценки среднего значения

Сначала рассмотрим задачу в общем случае. Обозначим данное нам значение половины длины доверительного интервала за В (рис. 104
). Нам известно, что доверительный интервал для среднего значения некоторой случайной величины X выражается как , где . Полагая:

и выражая n , получим .

К сожалению, точное значение дисперсии случайной величины X нам не известно. Кроме этого, нам неизвестно и значение t кр , так как оно зависит от n через количество степеней свободы. В данной ситуации мы можем поступить следующим образом. Вместо дисперсии s используем какую-либо оценку дисперсии, по каким-либо имеющимся реализациям исследуемой случайной величины. Вместо значения t кр используем значение z кр для нормального распределения. Это вполне допустимо, поскольку функции плотности распределений для нормального и t-распределения очень близки (за исключением случая малых n ). Таким образом, искомая формула принимает вид:

.

Поскольку формула дает, вообще говоря, нецелочисленные результат, в качестве искомого размера выборки берется округление с избытком результата.

Пример

В ресторане быстрого обслуживания планируется расширить ассортимент новым видом сэндвича. Для того чтобы оценить спрос на него, менеджер случайным образом планирует выбрать некоторое количество посетителей из тех, кто уже попробовал его, и предложить им оценить их отношение к новому продукту в баллах от 1 до 10. Менеджер хочет оценить ожидаемое количество баллов, которое получит новый продукт и построить 95%-й доверительный интервал этой оценки. При этом он хочет, чтобы половина ширины доверительного интервала не превышала 0,3. Какое количество посетителей ему необходимо опросить?

выглядит следующим образом:

Здесь р оц - оценка доли p , а В есть заданная половина длины доверительного интервала. Завышенное значение для n можно получить, используя значение р оц = 0,5. В этом случае длина доверительного интервала не будет превосходить заданного значения В при любом истинном значении p .

Пример

Пусть менеджер из предыдущего примера планирует оценить долю клиентов, отдавших предпочтение новому виду продукции. Он хочет построить 90%-й доверительный интервал, половина длины которого не превосходила бы 0,05. Сколько клиентов должно войти в случайную выборку?

Решение

В нашем случае значение z кр = 1,645. Поэтому искомое количество вычисляется как .

Если бы менеджер имел основания полагать, что искомое значение p составляет, например, примерно 0,3, то, подставляя это значение в вышеприведенную формулу, мы получили бы меньшее значение величины случайной выборки, а именно 228.

Формула для определения размеров случайной выборки в случае разности между двумя средними значениями записывается как:

.

Пример

Некоторая компьютерная компания имеет сервисный центр по обслуживанию клиентов. В последнее время увеличилось количество жалоб клиентов на плохое качество обслуживания. В сервисном центре в основном работают сотрудники двух типов: не имеющие большого опыта, но закончившие специальные подготовительные курсы, и имеющие большой практический опыт, но не закончившие специальных курсов. Компания хочет проанализировать нарекания клиентов за последние полгода и сравнить их средние количества, приходящиеся на каждую из двух групп сотрудников. Предполагается, что количества в выборках по обеим группам будут одинаковые. Какое количество сотрудников необходимо включить в выборку, чтобы получить 95%-й интервал с половиной длины не более 2?

Решение

Здесь σ оц есть оценка стандартного отклонения обеих случайных переменных в предположении, что они близки. Таким образом, в нашей задаче нам необходимо каким-то образом получить эту оценку. Это можно сделать, например, следующим образом. Просмотрев данные по нареканиям клиентов за последние полгода, менеджер может заметить, что на каждого сотрудника в основном приходится от 6 до 36 нареканий. Зная, что для нормального распределения практически все значения удалены от среднего значения не более чем на три стандартных отклонения, он может с определенным основанием полагать, что:

, откуда σ оц = 5.

Подставляя это значение в формулу, получаем .

Формула для определения размера случайной выборки в случае оценки разности между долями имеет вид:

Пример

Некоторая компания имеет две фабрики по производству аналогичной продукции. Менеджер компании хочет сравнить доли бракованной продукции на обеих фабриках. По имеющейся информации процент брака на обеих фабриках составляет от 3 до 5%. Предполагается построить 99%-й доверительный интервал с половиной длины не более 0,005 (или 0,5%). Какое количество изделий необходимо отобрать с каждой фабрики?

Решение

Здесь р 1оц и р 2оц являются оценками двух неизвестных долей брака на 1-й и 2-й фабрике. Если положить р 1оц = р 2оц = 0,5, то мы получим завышенное значение для n . Но поскольку в нашем случае мы имеем некоторую априорную информацию об этих долях, то мы берем верхнюю оценку этих долей, а именно 0,05. Получаем

Когда делается оценка некоторых параметров совокупности по выборочным данным, полезно дать не только точечную оценку параметра, но и указать доверительный интервал, который показывает, где может находиться точное значение оцениваемого параметра.

В данной главе мы также познакомились с количественными соотношениями, позволяющими строить такие интервалы для различных параметров; узнали способы управления длиной доверительного интервала.

Отметим также, что задачу оценки размеров выборки (задача планирования эксперимента) можно решить, используя стандартные средства StatPro , а именно StatPro/Statistical Inference/Sample Size Selection .

Доверительные интервалы (англ. Confidence Intervals ) одним из типов интервальных оценок используемых в статистике, которые рассчитываются для заданного уровня значимости. Они позволяют сделать утверждение, что истинное значение неизвестного статистического параметра генеральной совокупности находится в полученном диапазоне значений с вероятностью, которая задана выбранным уровнем статистической значимости.

Нормальное распределение

Когда известна вариация (σ 2) генеральной совокупности данных, для расчета доверительных пределов (граничных точек доверительного интервала) может быть использована z-оценка. По сравнению с применением t-распределения, использование z-оценки позволит построить не только более узкий доверительный интервал, но и получить более надежные оценки математического ожидания и среднеквадратического (стандартного) отклонения (σ), поскольку Z-оценка основывается на нормальном распределении.

Формула

Для определения граничных точек доверительного интервала, при условии что известно среднеквадратическое отклонение генеральной совокупности данных, используется следующая формула

Пример

Предположим, что размер выборки насчитывает 25 наблюдений, математическое ожидание выборки равняется 15, а среднеквадратическое отклонение генеральной совокупности составляет 8. Для уровня значимости α=5% Z-оценка равна Z α/2 =1,96. В этом случае нижняя и верхняя граница доверительного интервала составят

Таким образом, мы можем утверждать, что с вероятностью 95% математическое ожидание генеральной совокупности попадет в диапазон от 11,864 до 18,136.

Методы сужения доверительного интервала

Допустим, что диапазон является слишком широким для целей нашего исследования. Уменьшить диапазон доверительного интервала можно двумя способами.

1. Снизить уровень статистической значимости α.
2. Увеличить объем выборки.

Снизив уровень статистической значимости до α=10%, мы получим Z-оценку равную Z α/2 =1,64. В этом случае нижняя и верхняя граница интервала составят

А сам доверительный интервал может быть записан в виде

В этом случае, мы можем сделать предположение, что с вероятностью 90% математическое ожидание генеральной совокупности попадет в диапазон .

Если мы хотим не снижать уровень статистической значимости α, то единственной альтернативой остается увеличение объема выборки. Увеличив ее до 144 наблюдений, получим следующие значения доверительных пределов

Сам доверительный интервал станет иметь следующий вид

Таким образом, сужение доверительного интервала без снижения уровня статистической значимости возможно только лишь за счет увеличения объема выборки. Если увеличение объема выборки не представляется возможным, то сужение доверительного интервала может достигаться исключительно за счет снижения уровня статистической значимости.

Построение доверительного интервала при распределении отличном от нормального

В случае если среднеквадратичное отклонение генеральной совокупности не известно или распределение отлично от нормального, для построения доверительного интервала используется t-распределение. Это методика является более консервативной, что выражается в более широких доверительных интервалах, по сравнению с методикой, базирующейся на Z-оценке.

Формула

Для расчета нижнего и верхнего предела доверительного интервала на основании t-распределения применяются следующие формулы

Распределение Стьюдента или t-распределение зависит только от одного параметра – количества степеней свободы, которое равно количеству индивидуальных значений признака (количество наблюдений в выборке). Значение t-критерия Стьюдента для заданного количества степеней свободы (n) и уровня статистической значимости α можно узнать из справочных таблиц.

Пример

Предположим, что размер выборки составляет 25 индивидуальных значений, математическое ожидание выборки равно 50, а среднеквадратическое отклонение выборки равно 28. Необходимо построить доверительный интервал для уровня статистической значимости α=5%.

В нашем случае количество степеней свободы равно 24 (25-1), следовательно соответствующее табличное значение t-критерия Стьюдента для уровня статистической значимости α=5% составляет 2,064. Следовательно, нижняя и верхняя граница доверительного интервала составят

А сам интервал может быть записан в виде

Таким образом, мы можем утверждать, что с вероятностью 95% математическое ожидание генеральной совокупности окажется в диапазоне .

Использование t-распределения позволяет сузить доверительный интервал либо за счет снижения статистической значимости, либо за счет увеличения размера выборки.

Снизив статистическую значимость с 95% до 90% в условиях нашего примера мы получим соответствующее табличное значение t-критерия Стьюдента 1,711.

В этом случае мы можем утверждать, что с вероятностью 90% математическое ожидание генеральной совокупности окажется в диапазоне .

Если мы не хотим снижать статистическую значимость, то единственной альтернативой будет увеличение объема выборки. Допустим, что он составляет 64 индивидуальных наблюдения, а не 25 как в первоначальном условии примера. Табличное значение t-критерия Стьюдента для 63 степеней свободы (64-1) и уровня статистической значимости α=5% составляет 1,998.

Это дает нам возможность утверждать, что с вероятностью 95% математическое ожидание генеральной совокупности окажется в диапазоне .

Выборки большого объема

К выборкам большого объема относятся выборки из генеральной совокупности данных, количество индивидуальных наблюдений в которых превышает 100. Статистические исследования показали, что выборки большего объема имеют тенденцию быть нормально распределенными, даже если распределение генеральной совокупности отличается от нормального. Кроме того, для таких выборок применение z-оценки и t-распределения дают примерно одинаковые результаты при построении доверительных интервалов. Таким образом, для выборок большого объема допускается применение z-оценки для нормального распределения вместо t-распределения.

Подведем итоги

Инструкция

Учтите, что интервал (l1 или l2), центральной областью которого будет являться оценка l*, а также в котором с вероятностью заключена истинная величина параметра, как раз и будет доверительным интервал ом или соответствующим значением доверительной вероятности альфа. При этом сама l* будет относиться к точечным оценкам. Например, по результатам каких-либо выборочных величин случайного значения Х {x1, x2,..., xn} необходимо вычислить неизвестный параметр показателя l, от которого будет зависеть распределение. В этом случае получение оценки заданного параметра l* будет заключаться в том, что для каждой выборки нужно будет поставить некоторое значение параметра в соответствие, то есть создать функцию результатов наблюдения показателя Q, значение которого и будет принято равным оценочной величине параметра l* в виде формулы: l*=Q*(x1, x2,..., xn).

Обратите внимание, что любая функция по результатам наблюдения называется статистикой. При этом, если она полностью описывает рассматриваемый параметр (явление), тогда ее именуют достаточной статистикой. А потому как результаты наблюдений случайные, то l* будет являться также случайной величиной. Задача расчета статистики должна быть произведена с учетом критериев ее качества. Здесь необходимо учитывать, что закон распределения оценки является вполне определенным, распределение плотности вероятности W(x, l).

Можете рассчитать доверительный интервал достаточно просто, если вам известен закон о распределении оценки. К примеру, доверительный интервал оценки в отношении математического ожидания (средней величины случайного значения) mx* =(1/n)*(x1+x2+ …+xn) . Эта оценка будет являться несмещенной, то есть математическое ожидание или среднее значение показателя будет равным истинной величине параметра (М{ mx*} = mx).

Можете установить, что дисперсия оценки по математическому ожиданию: бх*^2=Dx/n. На основании предельной центральной теоремы можно сделать соответствующий вывод о том, что закон распределения данной оценки гауссовский (нормальный). Поэтому для проведения расчетов можете использовать показатель Ф(z) - интеграл вероятностей. В таком случае, выберите длину доверительного интервал а 2lд, так вы получите: альфа = P{mx-lд (с применением свойства интеграла вероятностей по формуле: Ф(-z)=1- Ф(z)).

Постройте доверительный интервал оценки математического ожидания:- найдите значение формулы (альфа+1)/2;- выберите по таблице интеграла вероятности значение, равное lд/sqrt(Dx/n);- возьмите оценку истинной дисперсии: Dx*=(1/n)*((x1 - mx*)^2+(x2 - mx*)^2+…+(xn - mx*)^2);- определите lд;- найдите доверительный интервал по формуле: (mx*-lд, mx*+lд).