Генеральная совокупность и выборочный метод. Средняя квадратическая стандартная ошибка выборки пояснение для

Расхождения между величиной какого-либо показателя, найденного посредством статистического наблюдения, и действительными его размерами называются ошибками наблюдения . В зависимости от причин возникновения различают ошибки регистрации и ошибки репрезентативности.

Ошибки регистрации возникают в результате неправильного установления фактов или ошибочной записи в процессе наблюдения или опроса. Они бывают случайными или систематическими. Случайные ошибки регистрации могут быть допущены как опрашиваемыми в их ответах, так и регистраторами. Систематические ошибки могут быть и преднамеренными, и непреднамеренными. Преднамеренные – сознательные, тенденциозные искажения действительного положения дела. Непреднамеренные вызываются различными случайными причинами (небрежность, невнимательность).

Ошибки репрезентативности (представительности) возникают в результате неполного обследования и в случае, если обследуемая совокупность недостаточно полно воспроизводит генеральную совокупность. Они могут быть случайными и систематическими. Случайные ошибки репрезентативности – это отклонения, возникающие при несплошном наблюдении из-за того, что совокупность отобранных единиц наблюдения (выборка) неполно воспроизводит всю совокупность в целом. Систематические ошибки репрезентативности – это отклонения, возникающие вследствие нарушения принципов случайного отбора единиц. Ошибки репрезентативности органически присущи выборочному наблюдению и возникают в силу того, что выборочная совокупность не полностью воспроизводит генеральную. Избежать ошибок репрезентативности нельзя, однако, пользуясь методами теории вероятностей, основанными на использовании предельных теорем закона больших чисел, эти ошибки можно свести к минимальным значениям, границы которых устанавливаются с достаточно большой точностью.

Ошибки выборки – разность между характеристиками выборочной и генеральной совокупности. Для среднего значения ошибка будет определяться по формуле

где

Величина
называетсяпредельной ошибкой выборки.

Предельная ошибка выборки – величина случайная. Исследованию закономерностей случайных ошибок выборки посвящены предельные теоремы закона больших чисел. Наиболее полно эти закономерности раскрыты в теоремах П. Л. Чебышева и А. М. Ляпунова.

Теорему П. Л. Чебышева применительно к рассматриваемому методу можно сформулировать следующим образом: при достаточно большом числе независимых наблюдений можно с вероятностью, близкой к единице (т. е. почти с достоверностью), утверждать, что отклонение выборочной средней от генеральной будет сколько угодно малым. В теореме П. Л. Чебышева доказано, что величина ошибки не должна превышать. В свою очередь величина, выражающая среднее квадратическое отклонение выборочной средней от генеральной средней, зависит от колеблемости признака в генеральной совокупностии числа отобранных единицn . Эта зависимость выражается формулой

, (7.2)

где зависит также от способа производства выборки.

Величину =называютсредней ошибкой выборки. В этом выражении– генеральная дисперсия,n – объем выборочной совокупности.

Рассмотрим, как влияет на величину средней ошибки число отбираемых единиц n . Логически нетрудно убедиться, что при отборе большого числа единиц расхождения между средними будут меньше, т. е. существует обратная связь между средней ошибкой выборки и числом отобранных единиц. При этом здесь образуется не просто обратная математическая зависимость, а такая зависимость, которая показывает, что квадрат расхождения между средними обратно пропорционален числу отобранных единиц.

Увеличение колеблемости признака влечет за собой увеличение среднего квадратического отклонения, а следовательно, и ошибки. Если предположить, что все единицы будут иметь одинаковую величину признака, то среднее квадратическое отклонение станет равно нулю и ошибка выборки также исчезнет. Тогда нет необходимости применять выборку. Однако следует иметь в виду, что величина колеблемости признака в генеральной совокупности неизвестна, поскольку неизвестны размеры единиц в ней. Можно рассчитать лишь колеблемость признака в выборочной совокупности. Соотношение между дисперсиями генеральной и выборочной совокупности выражается формулой

Поскольку величина при достаточно большихn близка к единице, можно приближенно считать, что выборочная дисперсия равна генеральной дисперсии, т. е.

Следовательно, средняя ошибка выборки показывает, какие возможны отклонения характеристик выборочной совокупности от соответствующих характеристик генеральной совокупности. Однако о величине этой ошибки можно судить с определенной вероятностью. На величину вероятности указывает множитель

Теорема А. М. Ляпунова . А. М. Ляпунов доказал, что распределение выборочных средних (следовательно, и их отклонений от генеральной средней) при достаточно большом числе независимых наблюдений приближенно нормально при условии, что генеральная совокупность обладает конечной средней и ограниченной дисперсией.

Математически теорему Ляпунова можно записать так:

(7.3)

где
, (7.4)

где
– математическая постоянная;

–предельная ошибка выборки , которая дает возможность выяснить, в каких пределах находится величина генеральной средней.

Значения этого интеграла для различных значений коэффициента доверия t вычислены и приводятся в специальных математических таблицах. В частности, при:

Поскольку t указывает на вероятность расхождения
, т. е. на вероятность того, на какую величину генеральная средняя будет отличаться от выборочной средней, то это может быть прочитано так: с вероятностью 0,683 можно утверждать, что разность между выборочной и генеральной средними не превышает одной величины средней ошибки выборки. Другими словами, в 68,3 % случаев ошибка репрезентативности не выйдет за пределы
С вероятностью 0,954 можно утверждать, что ошибка репрезентативности не превышает
(т. е. в 95 % случаев). С вероятностью 0,997, т. е. довольно близкой к единице, можно ожидать, что разность между выборочной и генеральной средней не превзойдет трехкратной средней ошибки выборки и т. д.

Логически связь здесь выглядит довольно ясно: чем больше пределы, в которых допускается возможная ошибка, тем с большей вероятностью судят о ее величине.

Зная выборочную среднюю величину признака
и предельную ошибку выборки
, можно определить границы (пределы), в которых заключена генеральная средняя

1 . Собственно-случайная выборка – этот способ ориентирован на выборку единиц из генеральной совокупности без всякого расчленения на части или группы. При этом для соблюдения основного принципа выборки – равной возможности всем единицам генеральной совокупности быть отобранным – используются схема случайного извлечения единиц путем жеребьевки (лотереи) или таблицы случайных чисел. Возможен повторный и бесповторный отбор единиц

Средняя ошибка собственно-случайной выборкипредставляет собойсреднеквадратическое отклонение возможных значений выборочной средней от генеральной средней. Средние ошибки выборки при собственно-случайном методе отбора представлены в табл. 7.2.

Таблица 7.2

В таблице использованы следующие обозначения:

– дисперсия выборочной совокупности;

– численность выборки;

– численность генеральной совокупности;

– выборочная доля единиц, обладающих изучаемым признаком;

– число единиц, обладающих изучаемым признаком;

– численность выборки.

Для увеличения точности вместо множителя следует брать множитель
, но при большой численностиN различие между этими выражениями практического значения не имеет.

Предельная ошибка собственно-случайной выборки
рассчитывается по формуле

, (7.6)

где t – коэффициент доверия зависит от значения вероятности.

Пример. При обследовании ста образцов изделий, отобранных из партии в случайном порядке, 20 оказалось нестандартными. С вероятностью 0,954 определите пределы, в которых находится доля нестандартной продукции в партии.

Решение . Вычислим генеральную долю (Р ):
.

Доля нестандартной продукции:
.

Предельная ошибка выборочной доли с вероятностью 0,954 рассчитывается по формуле (7.6) с применением формулы табл. 7.2 для доли:

С вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля нестандартной продукции в партии товара находится в пределах 12 % ≤ P ≤ 28 %.

В практике проектирования выборочного наблюдения возникает потребность определения численности выборки, которая необходима для обеспечения определенной точности расчета генеральных средних. Предельная ошибка выборки и ее вероятность при этом являются заданными. Из формулы
и формул средних ошибок выборки устанавливается необходимая численность выборки. Формулы для определения численности выборки (n ) зависят от способа отбора. Расчет численности выборки для собственно-случайной выборки приведен в табл. 7.3.

Таблица 7.3

2 . Механическая выборка – при этом методе исходят из учета некоторых особенностей расположения объектов в генеральной совокупности, их упорядоченности (по списку, номеру, алфавиту). Механическая выборка осуществляется путем отбора отдельных объектов генеральной совокупности через определенный интервал (каждый 10-й или 20-й). Интервал рассчитывается по отношению, гдеn – численность выборки,N – численность генеральной совокупности. Так, если из совокупности в 500 000 единиц предполагается получить 2 %-ную выборку, т. е. отобрать 10 000 единиц, то пропорция отбора составит
Отбор единиц осуществляется в соответствии с установленной пропорцией через равные интервалы. Если расположение объектов в генеральной совокупности носит случайный характер, то механическая выборка по содержанию аналогична случайному отбору. При механическом отборе применяется только бесповторная выборка .

Средняя ошибка и численность выборки при механическом отборе подсчитывается по формулам собственно-случайной выборки (см. табл. 7.2 и 7.3).

3 . Типическая выборка , при котрой генеральная совокупность делится по некоторым существенным признакам на типические группы; отбор единиц производится из типических групп. При этом способе отбора генеральная совокупность расчленяется на однородные в некотором отношении группы, которые имеют свои характеристики, и вопрос сводится к определению объема выборок из каждой группы. Может бытьравномерная выборка – при этом способе из каждой типической группы отбирается одинаковое число единиц
Такой подход оправдан лишь при равенстве численностей исходных типических групп. При типическом отборе, непропорциональном объему групп, общее число отбираемых единиц делится на число типических групп, полученная величина дает численность отбора из каждой типической группы.

Более совершенной формой отбора является пропорциональная выборка . Пропорциональной называется такая схема формирования выборочной совокупности, когда численность выборок, взятых из каждой типической группы в генеральной совокупности, пропорциональна численностям, дисперсиям (или комбинированно и численностям, и дисперсиям). Условно определяем численность выборки в 100 единиц и отбираем единицы из групп:

– пропорционально численности их генеральной совокупности (табл. 7.4). В таблице обозначено:

N i – численность типической группы;

d j – доля (N i /N );

N – численность генеральной совокупности;

n i – численность выборки из типической группы вычисляется:

, (7.7)

n – численность выборки из генеральной совокупности.

Таблица 7.4

– пропорционально среднему квадратическому отклонению (табл. 7.5).

здесь  i – среднее квадратическое отклонение типических групп;

n i – численность выборки из типической группы вычисляется по формуле

(7.8)

Таблица 7.5

– комбинированно (табл. 7.6).

Численность выборки вычисляется по формуле

. (7.9)

Таблица 7.6

При проведении типической выборки непосредственный отбор из каждой группы проводится методом случайного отбора.

Средние ошибки выборки рассчитываются по формулам табл. 7.7 в зависимости от способа отбора из типических групп.

Таблица 7.7

здесь
– средняя из внутригрупповых дисперсий типических групп;

– доля единиц, обладающих изучаемым признаком;

– средняя из внутригрупповых дисперсий для доли;

– среднее квадратическое отклонение в выборке изi -й типической группы;

– объем выборки из типической группы;

– общий объем выборки;

– объем типической группы;

– объем генеральной совокупности.

Численность выборки из каждой типической группы должна быть пропорциональна среднему квадратическому отклонению в этой группе
.Расчет численности
производится по формулам, приведенным в табл. 7.8.

Таблица 7.8

4 . Серийная выборка – удобена в тех случаях, когда единицы совокупности объединены в небольшие группы или серии. При серийной выборке генеральную совокупность делят на одинаковые по объему группы – серии. В выборочную совокупность отбираются серии. Сущность серийной выборки заключается в случайном или механическом отборе серий, внутри которых производится сплошное обследование единиц. Средняя ошибка серийной выборки с равновеликими сериями зависит от величины только межгрупповой дисперсии. Средние ошибки сведены в табл. 7.9.

Таблица 7.9

Здесь R – число серий в генеральной совокупности;

r – число отобранных серий;

– межсерийная (межгрупповая) дисперсия средних;

– межсерийная (межгрупповая) дисперсия доли.

При серийном отборе необходимую численность отбираемых серий определяют так же, как и при собственно-случайном методе отбора.

Расчет численности серийной выборки производится по формулам, приведенным в табл. 7.10.

Таблица 7.10

Пример. В механическом цехе завода в десяти бригадах работает 100 рабочих. В целях изучения квалификации рабочих была произведена 20 %-ная серийная бесповторная выборка, в которую вошли две бригады. Получено следующее распределение обследованных рабочих по разрядам:

Необходимо определить с вероятностью 0,997 пределы, в которых находится средний разряд рабочих механического цеха.

Решение. Определим выборочные средние по бригадам и общую среднюю как среднюю взвешенную из групповых средних:

Определим межсерийную дисперсию по формулам (5.25):

Рассчитаем среднюю ошибку выборки по формуле табл. 7.9:

Вычислим предельную ошибку выборки с вероятностью 0,997:

С вероятностью 0,997 можно утверждать, что средний разряд рабочих механического цеха находится в пределах

Теория статистики: конспект лекций Бурханова Инесса Викторовна

3. Ошибки выборки

3. Ошибки выборки

Каждая единица при выборочном наблюдении должна иметь равную с другими возможность быть отобранной – это является основой собственнослучайной выборки.

Собственнослучайная выборка – это отбор единиц из всей генеральной совокупности посредством жеребьевки или другим подобным способом.

Принципом случайности является то, что на включение или исключение объекта из выборки не может повлиять любой фактор, кроме случая.

Доля выборки – это отношение числа единиц выборочной совокупности к числу единиц генеральной совокупности:

Собственнослучайный отбор в чистом виде является исходным среди всех других видов отбора, в нем заключаются и реализуются основные принципы выборочного статистического наблюдения.

Два основных вида обобщающих показателей, которые используют в выборочном методе – это средняя величина количественного признака и относительная величина альтернативного признака.

Выборочная доля (w), или частность, определяется отношением числа единиц, обладающих изучаемым признаком m, к общему числу единиц выборочной совокупности (n):

Для характеристики надежности выборочных показателей различают среднюю и предельную ошибки выборки.

Ошибка выборки, ее еще называют ошибкой репрезентативности, представляет собой разность соответствующих выборочных и генеральных характеристик:

?х =|х – х|;

?w =|х – p|.

Только выборочным наблюдениям присуща ошибка выборки

Выборочная средняя и выборочная доля – это случайные величины, принимающие различные значения в зависимости от единиц изучаемой статистической совокупности, которые попали в выборку. Соответственно ошибки выборки – тоже случайные величины и также могут принимать различные значения. Поэтому определяют среднюю из возможных ошибок – среднюю ошибку выборки.

Средняя ошибка выборки определяется объемом выборки: чем больше численность при прочих равных условиях, тем меньше величина средней ошибки выборки. Охватывая выборочным обследованием все большее количество единиц генеральной совокупности, все более точно характеризуем всю генеральную совокупность.

Средняя ошибка выборки зависит от степени варьирования изучаемого признака, в свою очередь степень варьирования характеризуется дисперсией? 2 или w(l – w) – для альтернативного признака. Чем меньше вариация признака и дисперсия, тем меньше средняя ошибка выборки, и наоборот.

При случайном повторном отборе средние ошибки теоретически рассчитывают по следующим формулам:

1) для средней количественного признака:

где? 2 – средняя величина дисперсии количественного признака.

2) для доли (альтернативного признака):

Так как дисперсия признака в генеральной совокупности? 2 точно неизвестна, на практике пользуются значением дисперсии S 2 , рассчитанным для выборочной совокупности на основании закона больших чисел, согласно которому выборочная совокупность при достаточно большом объеме выборки достаточно точно воспроизводит характеристики генеральной совокупности.

Формулы средней ошибки выборки при случайном повторном отборе следующие. Для средней величины количественного признака: генеральная дисперсия выражается через выборную следующим соотношением:

где S 2 – значение дисперсии.

Механическая выборка – это отбор единиц в выборочную совокупность из генеральной, которая разбита по нейтральному признаку на равные группы; производится так, что из каждой такой группы в выборку отбирается лишь одна единица.

При механическом отборе единицы изучаемой статистической совокупности предварительно располагают в определенном порядке, после чего отбирают заданное число единиц механически через определенный интервал. При этом размер интервала в генеральной совокупности равен обратному значению доли выборки.

При достаточно большой совокупности механический отбор по точности результатов близок к собственнослучайному Поэтому для определения средней ошибки механической выборки используют формулы собственнослучайной бесповторной выборки.

Для отбора единиц из неоднородной совокупности применяется так называемая типическая выборка, используется, когда все единицы генеральной совокупности можно разбить на несколько качественно однородных, однотипных групп по признакам, от которых зависят изучаемые показатели.

Затем из каждой типической группы собственнослучайной или механической выборкой производится индивидуальный отбор единиц в выборочную совокупность.

Типическая выборка обычно применяется при изучении сложных статистических совокупностей.

Типическая выборка дает более точные результаты. Типизация генеральной совокупности обеспечивает репрезентативность такой выборки, представительство в ней каждой типологической группы, что позволяет исключить влияние межгрупповой дисперсии на среднюю ошибку выборки. Поэтому при определении средней ошибки типической выборки в качестве показателя вариации выступает средняя из внутригрупповых дисперсий.

Серийная выборка предполагает случайный отбор из генеральной совокупности равновеликих групп для того, чтобы в таких группах подвергать наблюдению все без исключения единицы.

Поскольку внутри групп (серий) обследуются все без исключения единицы, средняя ошибка выборки (при отборе равновеликих серий) зависит только от межгрупповой (межсерийной) дисперсии.