Как найти критические и стационарные точки. Внеклассный урок - экстремум функции
В предшествующих рассуждениях мы совсем не пользовались техническими приемами дифференциального исчисления.
Трудно не признать, что наши элементарные методы являются более простыми и более прямыми, чем методы анализа. Вообще, занимаясь той или иной научной проблемой, лучше исходить из ее индивидуальных особенностей, чем полагаться исключительно на общие методы, хотя, с другой стороны, общий принцип, уясняющий смысл применяемых специальных процедур, конечно, всегда должен играть руководящую роль. Таково именно значение методов дифференциального исчисления при рассмотрении экстремальных проблем. Наблюдаемое в современной науке стремление к общности представляет только одну сторону дела, так как то, что в математике является подлинно жизненным, без всякого сомнения обусловливается индивидуальными чертами рассматриваемых, проблем и применяемых методов.
В своем историческом развитии дифференциальное исчисление в весьма значительной степени испытало воздействие индивидуальных проблем, связанных с разысканием наибольших и наименьших значений величин. Связь между экстремальными проблемами и дифференциальным исчислением можно уяснить себе следующим образом. В главе VIII мы займемся обстоятельным изучением производной f"(x) от функции f(x) и ее геометрического смысла. Там мы увидим, что, говоря кратко, производная f"(x) есть наклон касательной к кривой y = f(x) в точке (х, y). Геометрически очевидно, что в точках максимума или минимума гладкой кривой y = f(x) касательная к кривой непременно должна быть горизонтальной, т. е. наклон должен равняться нулю. Таким образом мы получаем для точек экстремума условие f"(x) = 0 .
Чтобы отдать себе ясно отчет в том, что означает обращение в нуль производной f"(x), рассмотрим кривую, изображенную на рис. 191. Мы видим здесь пять точек А, В, С, D, ?, в которых касательная к кривой горизонтальна; обозначим соответствующие значения f(x) в этих точках через а, b, с, d, е. Наибольшее значение f(x) (в пределах области, изображенной на чертеже) достигается в точке D, наименьшее - в точке A. В точке В имеется максимум - в том смысле, что во всех точках некоторой окрестности точки В значение f(x) меньше, чем b, хотя в точках, близких к D, значение f(x) все же больше, чем b. По этой причине принято говорить, что в точке В имеется относительный максимум функции f(x), тогда как в точке D - абсолютный максимум. Точно так же в точке С имеет место относительный минимум, а в точке А - абсолютный минимум. Наконец, что касается точки Е, то в ней нет ни максимума, ни минимума, хотя в ней все же осуществляется равенство f"(x) = Q , Отсюда следует, что обращение в нуль производной f"(x) есть необходимое , но никак не достаточное условие для появления экстремума гладкой функции f(x); другими словами, во всякой точке, где имеется экстремум (абсолютный или относительный), непременно имеет место равенство f"(x) = 0 , но не во всякой точке, где f"(x) = 0 , обязан быть экстремум. Те точки, в которых производная f"(x) обращается в нуль, независимо от того, имеется ли в них экстремум, называются стационарными. Дальнейший анализ приводит к более или менее сложным условиям, касающимся высших производных функции f(x) и полностью характеризующим максимумы, минимумы и иные стационарные точки.
Стационарные точки функции. Необходимое условие локального экстремума функции
Первое достаточное условие локального экстремума
Второе и третье достаточные условия локального экстремума
Наименьшее и наибольшее значения функции на сегменте
Выпуклые функции и точки перегиба
1. Стационарные точки функции. Необходимое условие локального экстремума функции
Определение 1
.
Пусть функция
определена на 
.
Точка 
называется стационарной точкой функции
,
если 
дифференцирована в точке 
и 
.
Теорема 1 (необходимое
условие локального экстремума функции)
.
Пусть функция 
определена на 
и имеет в точке 
локальный экстремум. Тогда выполняется
одно из условий:
Таким образом, для того, чтобы найти точки, которые являются подозрительными на экстремум, надо найти стационарные точки функции и точки, в которых производная функции не существует, но которые принадлежат области определения функции.
Пример
.
Пусть 
.
Найти для нее точки, которые являются
подозрительными на экстремум. Для
решения поставленной задачи, в первую
очередь, найдем область определения
функции: 
.
Найдем теперь производную функции:
Точки, в которых производная
не существует: 
.
Стационарные точки функции:
Поскольку и 
,
и 
принадлежат области определения функции,
то они обе будут подозрительными на
экстремум. Но для того, чтобы сделать
вывод, будет ли там действительно
экстремум, надо применять достаточные
условия экстремума.
2. Первое достаточное условие локального экстремума
Теорема 1 (первое достаточное
условие локального экстремума)
.
Пусть функция 
определена на 
и дифференцирована на этом интервале
везде за исключением, возможно, точки
,
но в этой точке 
функция 
является
непрерывной. Если
существуют такие правая и левая
полуокрестности точки 
,
в каждой из которых 
сохраняет определенный знак, то
1) функция 
имеет локальный экстремум в точке 
,
если 
принимает значения разных знаков в
соответствующих полуокрестностях;
2) функция 
не имеет локальный экстремум в точке
,
если справа и слева от точки 
имеет одинаковый знак.
Доказательство
.
1) Предположим, что в полуокрестности 
производная 
,
а в 
.
Таким образом в точке 
функция 
имеет локальный экстремум, а именно -
локальный максимум, что и нужно было
доказать.
2) Предположим, что слева
и справа от точки 
производная сохраняет свой знак,
например, 
.
Тогда на 
и 
функция 
строго монотонно возрастает, то есть:
Таким образом экстремума
в точке 
функция 
не имеет, что и нужно было доказать.
Замечание 1
.
Если производная 
при прохождении через точку 
меняет знак с «+» на «-», то в точке 
функция 
имеет локальный максимум, а если знак
меняется с «-» на «+», то локальный
минимум.
Замечание 2
.
Важным является условие непрерывности
функции 
в точке 
.
Если это условие не выполняется, то
теорема 1 может не иметь места.
Пример . Рассматривается функция (рис.1):
Эта функция определена на 
и непрерывна везде, кроме точки 
,
где она имеет устранимый разрыв. При
прохождении через точку 
меняет знак с «-» на «+», но локального
минимума в этой точке функция не имеет,
а имеет локальный максимум по определению.
Действительно, около точки 
можно построить такую окрестность, что
для всех аргументов из этой окрестности
значения функции будут меньше, чем
значение 
.
Теорема 1 не сработала потому, что в
точке 
функция имела разрыв.
Замечание 3
.
Первое достаточное условие локального
экстремума не может быть использовано,
когда производная функции 
меняет свой знак в каждой левой и каждой
правой полуокрестности точки 
.
Пример . Рассматривается функция:
Поскольку 
,
то 
,
а потому 
,
но 
.
Таким образом:
,
т.е. в точке 
функция 
имеет локальный минимум по определению.
Посмотрим, сработает ли здесь первое
достаточное условие локального
экстремума.
Для 
:
Для первого слагаемого правой части полученной формулы имеем:
,
а потому в малой окрестности
точки 
знак производной определяется знаком
второго слагаемого, то есть:
,
а это означает, что в любой
окрестности точки 
будет принимать как положительные, так
и отрицательные значения. Действительно,
рассмотрим произвольную окрестность
точки 
:
.
Когда
,
то
(рис.2), а 
меняет свой знак здесь бесконечно много
раз. Таким образом, нельзя использовать
в приведенном примере первое достаточное
условие локального экстремума.
Рассмотрим следующий рисунок.
На нем изображен график функции y = x^3 – 3*x^2. Рассмотрим некоторый интервал содержащий точку х = 0, например от -1 до 1. Такой интервал еще называют окрестностью точки х = 0. Как видно на графике, в этой окрестности функция y = x^3 – 3*x^2 принимает наибольшее значение именно в точке х = 0.
Максимум и минимум функции
В таком случае, точку х = 0 называют точкой максимума функции. По аналогии с этим, точку х = 2 называют точкой минимума функции y = x^3 – 3*x^2. Потому что существует такая окрестность этой точки, в которой значение в этой точке будет минимальным среди всех других значений из этой окрестности.
Точкой максимума функции f(x) называется точка x0, при условии, что существует окрестность точки х0 такая, что для всех х не равных х0 из этой окрестности, выполняется неравенство f(x) < f(x0).
Точкой минимума функции f(x) называется точка x0, при условии, что существует окрестность точки х0 такая, что для всех х не равных х0 из этой окрестности, выполняется неравенство f(x) > f(x0).
В точках максимума и минимума функций значение производной функции равно нулю. Но это не достаточное условие для существования в точке максимума или минимума функции.
Например, функция y = x^3 в точке х = 0 имеет производную равную нулю. Но точка х = 0 не является точкой минимума или максимума функции. Как известно функция y = x^3 возрастает на всей числовой оси.
Таким образом, точки минимума и максимума всегда будут находиться среди корне уравнения f’(x) = 0. Но не все корни этого уравнения будут являться точками максимума или минимума.
Стационарные и критические точки
Точки, в которых значение производной функции равно нулю, называются стационарными точками. Точки максимума или минимума могут иметься и вточках, в которых производной у функции вообще не существует. Например, у = |x| в точке х = 0 имеет минимум, но производной в этой точке не существует. Эта точка будет являться критической точкой функции.
Критическими точками функции называются точки, в которых производная равна нулю, либо производной в этой точке не существует, то есть функция в этой точке недифференцируема. Для того чтобы найти максимум или минимум функции необходимо выполнение достаточного условия.
Пусть f(x) некоторая дифференцируемая на интервале (a;b) функция. Точка х0 принадлежит этому интервалу и f’(x0) = 0. Тогда:
1. если при переходе через стационарную точку х0 функция f(x) и её производная меняет знак, с «плюса» на «минус», тогда точка х0 является точкой максимума функции.
2. если при переходе через стационарную точку х0 функция f(x) и её производная меняет знак, с «минуса» на «плюс», тогда точка х0 является точкой минимума функции.
Определения:
Экстремумом называют максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве.
Точка экстремума – это точка, в которой достигается максимальное или минимальное значение функции.
Точка максимума – это точка, в которой достигается максимальное значение функции.
Точка минимума – это точка, в которой достигается минимальное значение функции.
Пояснение.
На рисунке в окрестности точки х = 3 функция достигает максимального значения (то есть в окрестности именно этой точки нет точки выше). В окрестности х = 8 она опять же имеет максимальное значение (снова уточним: именно в этой окрестности нет точки выше). В этих точках возрастание сменяется убыванием. Они являются точками максимума:
x max = 3, x max = 8.
В окрестности точки х = 5 достигается минимальное значение функции (то есть в окрестности х=5 точки ниже нет). В этой точке убывание сменяется возрастанием. Она является точкой минимума:
Точки максимума и минимума являются точками экстремума функции , а значения функции в этих точках – ее экстремумами .
Критические и стационарные точки функции:
Необходимое условие экстремума:
Достаточное условие экстремума:
На отрезке функция y = f (x ) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка .
Алгоритм исследования непрерывной функции y = f (x ) на монотонность и экстремумы:
Область определения функции, вычислить ее производную, найти область определения производной функции, найти точки обращения производной в ноль, доказать принадлежность найденных точек области определения исходной функции.
Пример 1Определите критические точки функции y = (x - 3)²·(x-2).
РешениеНайдите область определения функции, в данном случае ограничений нет: x ∈ (-∞; +∞);Вычислите производную y’. По правилам дифференцирования произведения двух имеется: y’ = ((x - 3)²)’·(x - 2) + (x - 3)²·(x - 2)’ = 2·(x - 3)·(x - 2) + (x - 3)²·1. После получается квадратное уравнение: y’ = 3·x² – 16·x + 21.
Найдите область определения производной функции: x ∈ (-∞; +∞).Решите уравнение 3·x² – 16·x + 21 = 0 для того, чтобы найти, при каких обращается в ноль: 3·x² – 16·x + 21 = 0.
D = 256 – 252 = 4x1 = (16 + 2)/6 = 3; x2 = (16 - 2)/6 = 7/3.Итак, производная обращается в ноль при значениях x, равных 3 и 7/3.
Определите, принадлежат ли найденные точки области определения исходной функции. Поскольку x (-∞; +∞), то обе эти точки являются критическими.
Пример 2Определите критические точки функции y = x² – 2/x.
РешениеОбласть определения функции: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞), поскольку x стоит в знаменателе.Вычислите производную y’ = 2·x + 2/x².
Область определения производной функции та же, что у исходной: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞).Решите уравнение 2·x + 2/x² = 0:2·x = -2/x² → x = -1.
Итак, производная обращается в ноль при x = -1. Выполнено необходимое, но недостаточное условие критичности. Поскольку x=-1 попадает в интервал (-∞; 0) ∪ (0; +∞), то эта точка являются критической.
Источники:
- Критический объем реализации, штПорог
Многие женщины страдают от предменструального синдрома, который проявляется не только болезненными ощущениями, но и повышенным аппетитом. В результате критические дни могут значительно замедлить процесс похудения.
Причины повышения аппетита во время критических дней
Причиной повышения аппетита в период критических дней является изменение общего гормонального фона в женском организме. За несколько дней до наступления менструации уровень гормона прогестерона повышается, организм настраивается на возможную и старается сделать дополнительные запасы энергии в виде жировых отложений, даже если женщина сидит . Таким образом, изменение веса в критические дни – это нормальное явление.
Как питаться во время месячных
Постарайтесь не есть в эти дни сладости, кондитерские изделия и другие высококалорийные продукты, содержащие «быстрые» . Их избыток немедленно отложится в жир. Многим женщинам в этот период очень хочется съесть шоколадку, в этом случае можно купить горький шоколад и побаловать себя несколькими дольками, но не больше. В период месячных не стоит употреблять алкогольные напитки, маринады, соленья, копчености, семечки и орехи. Соленья и копчености вообще стоит ограничить в рационе за 6-8 дней до начала менструации, поскольку такие продукты увеличивают запасы воды в организме, а этот период характеризуется повышением накопления жидкости. Чтобы сократить количество соли в рационе, добавляйте ее в минимальном количестве в готовые блюда.
Рекомендуется употреблять нежирные молочные продукты, растительную пищу, каши. Будут полезны бобовые, отварной картофель, рис - продукты, в состав которых входят «медленные» углеводы. Восполнить потери железа помогут морепродукты, печень, рыба, говядина, птица, яйца, бобовые, сухофрукты. Будут полезны пшеничные отруби. Естественной реакцией в период месячных являются отеки. Скорректировать состояние помогут легкие мочегонные травы: базилик, укроп, петрушка, сельдерей. Их можно использовать в качестве приправы. Во второй половине цикла рекомендуется употреблять белковые продуктов (нежирные сорта мяса и рыбы, молочные продукты), а количество углеводов в рационе следует максимально снизить.
Экономическое понятие критического объема продаж соответствует положению предприятия на рынке, при котором выручка от реализации товара является минимальной. Такая ситуация называется точкой безубыточности, когда спрос на продукцию падает и прибыль едва покрывает себестоимость. Чтобы определить критический объем продаж , используют несколько методов.
Инструкция
Рабочий цикл не ограничивается его деятельностью – производством или услуг. Это сложная труда определенной структуры, включающей работу основного персонала, управленческого аппарата, менеджерского состава и др., а также экономистов, задача которых – финансовый анализ предприятия.
Целью этого анализа является расчет некоторых величин, которые в той или иной степени влияют на размер конечной прибыли. Это различные виды объемов производства и реализации, полной и средней , показатели спроса и и т.д. Основная задача – выявить такой объем производства, при котором устанавливается стойкая взаимосвязь между затратами и прибылью.
Минимальный объем продаж , при котором доход полностью покрывает затраты, но не увеличивает собственный капитал компании, называется критическим объемом продаж . Есть три метода расчета способа этого показателя: метод уравнений, маржинального дохода и графический.
Чтобы определить критический объем продаж по первому методу, составьте уравнение вида:Вп – Зпер – Зпос = Пп = 0, где:Вп – выручка от продаж и ;Зпер и Зпос – затраты переменные и постоянные;Пп – прибыль от продаж и.
По другому методу первое слагаемое, выручка от продаж , представьте в виде произведения маржинального дохода от единицы товара на объем продаж , то же касается переменных затрат. Постоянные затраты распространяются на всю партию товара, поэтому эту составляющая оставьте общей:МД N – Зпер1 N – Зпос = 0.
Выразите из этого уравнения величину N, и вы получите критический объем продаж :N = Зпос/(МД – Зпер1), где Зпер1 – переменные затраты на единицу товара.
Графический метод предполагает построение . Нанесите на координатную плоскость две линии: функцию выручки от продаж за вычетом обоих затрат и функцию прибыли. На оси абсцисс откладывайте объем продукции, а по оси ординат – доход от соответствующего количества товара, выраженный в денежных единицах. Точка пересечения этих линий соответствует критическому объему продаж , положению безубыточности.
Источники:
- как определить критическую работу
Критическое мышление представляет собой совокупность суждений, на основе которых формируются определенные выводы, и делается оценка объектов критики. Оно особенно свойственно исследователям и ученым всех отраслей науки. Критическое мышление занимает более высокую ступень по сравнению с обыденным.
Ценность опыта в формировании критического мышления
Сложно анализировать и делать выводы относительно того, в чем плохо разбираешься. Следовательно, чтобы научиться мыслить критически, необходимо изучать объекты во всевозможных связях и взаимоотношениях с другими явлениями. А также большое значение в данном деле имеет владение информацией о подобных объектах, умение выстраивать логические цепочки суждений и делать обоснованные выводы.
К примеру, судить о ценности художественного произведения можно только зная достаточно много других плодов литературной деятельности. При этом неплохо быть знатоком истории развития человечества, становления литературы и литературной критики. В отрыве от исторического контекста произведение может потерять заложенный в него смысл. Чтобы оценка художественного произведения была достаточно полной и обоснованной, необходимо также использовать свои литературоведческие знания, которые включают в себя правила построения художественного текста в рамках отдельных жанров, систему различных литературных приемов, классификацию и анализ существующих стилей и направлений в литературе и т.д. При этом важным является и изучение внутренней логики сюжета, последовательности действий, расстановки и взаимодействия персонажей художественного произведения.
Особенности критического мышления
Среди прочих особенностей критического мышления можно выделить следующие:
- знания об исследуемом объекте являются лишь отправной точкой для дальнейшей мозговой деятельности, связанной с построением логических цепочек;
- последовательно выстроенные и основанные на здравом смысле рассуждения приводят к выявлению истинной и ошибочной информации об изучаемом объекте;
- критическое мышление всегда связано с оценкой имеющейся информации о данном объекте и соответствующими выводами, оценка же, в свою очередь, связана с уже имеющимися навыками.
В отличие от обыденного мышления, критическое не подчинено слепой вере. Критическое мышление позволяет с помощью целой системы суждений об объекте критики постичь ее суть, выявить истинные знания о ней и опровергнуть ложные. Оно основано на логике, глубине и полноте изучения, правдивости, адекватности и последовательности суждений. При этом очевидные и давно доказанные утверждения принимаются как постулаты и не требуют повторного доказательства и оценки.