Квадратные формулы. Формулы сокращенного умножения

На данном уроке мы познакомимся с формулами квадрата суммы и квадрата разности и выведем их. Формулу квадрата суммы докажем геометрически. Кроме того, решим много различных примеров с применением этих формул.

Рассмотрим формулу квадрата суммы:

Итак, мы вывели формулу квадрата суммы:

Словесно эта формула выражается так: квадрат суммы равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.

Данную формулу легко представить геометрически.

Рассмотрим квадрат со стороной :

Площадь квадрата.

С другой стороны, этот же квадрат можно представить иначе, разбив сторону на а и b (рис. 1).

Рис. 1. Квадрат

Тогда площадь квадрата можно представить в виде суммы площадей:

Поскольку квадраты были одинаковы, то их площади равны, значит:

Итак, мы доказали геометрически формулу квадрата суммы.

Рассмотрим примеры:

Комментарий: пример решен с применением формулы квадрата суммы.

Выведем формулу квадрата разности:

Итак, мы вывели формулу квадрата разности:

Словесно эта формула выражается так: квадрат разности равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.

Рассмотрим примеры:

Формулы квадрата суммы и квадрата разности могут работать как слева направо, так и справа налево. При использовании слева направо это будут формулы сокращенного умножения, они применяются при вычислении и преобразовании примеров. А при использовании справа налево - формулы разложения на множители.

Рассмотрим примеры, в которых нужно разложить заданный многочлен на множители, применяя формулы квадрата суммы и квадрата разности. Для этого нужно очень внимательно посмотреть на многочлен и определить, как именно его правильно разложить.

Комментарий: для того, чтобы разложить многочлен на множители, нужно определить, что представлено в данном выражении. Итак, мы видим квадрат и квадрат единицы. Теперь нужно найти удвоенное произведение - это . Итак, все необходимые элементы есть, нужно только определить, это квадрат суммы или разности. Перед удвоенным произведением стоит знак плюс, значит, перед нами квадрат суммы.

У истоков создания этого проекта лежит небольшая формула, которую я заметил в этом году. Если говорить точнее, это закономерность между числами. Я долго интересовался тем, что это за формула, но разные люди предполагали абсолютно разные варианты. Поскольку, безусловно, эта формула связана с квадратами чисел и я не знаю, придумал ли ее кто-то до меня, я решил сделать презентацию, в которой помимо этой закономерности рассказывалось о какой-нибудь интересной теме. Так я решил создать этот научно-исследовательский проект.

Квадрат суммы

Начнем с азов. Наверняка, каждый семиклассник (не говоря уже и о более старших школьниках) знает эту формулу. Но все же для закрепления материала стоит проверить эти знания.

(x+y)²=x²+2xy+y²

Что читается, как >.

Квадрат разности

А вот на этой теме уже начинают встречаться сложности. К сожалению, не все ученики помнят эту формулу, некоторые путаются, но я надеюсь, что никто из нашего класса не ошибется ни в записи, ни в формулировке.

(x-y)²=x²-2xy+y²

А читается эта формула: >.

Немного из истории. Вот мы и вспомнили первые две формулы сокращенного умножения. Как оказалось, ничего страшного в этом нет!

А задавались ли вы когда-нибудь вопросом, кто же все-таки придумал эти две формулы: квадрат суммы и квадрат разности? Некоторые источники говорят, что это был древнегреческий математик Евклид. Это было действительно уникальное открытие, поскольку мы знаем, что он жил еще в III веке до нашей эры.

Разность квадратов

Вот мы и дошли до последней формулы, связанной с квадратами чисел. В следующем слайде я докажу, почему она последняя. А пока что попытаемся вспомнить разность квадратов.

x²-y²=(x+y)(x-y)

При этом следует помнить, что множители можно менять местами.

Разность квадратов двух чисел равна произведению суммы и разности этих чисел.

Сумма квадратов

Но в школьном курсе не дается понятие этой формулы сокращенного умножения, потому что ее попросту не существует. А сейчас мы рассмотрим, почему.

Квадрат суммы и квадрат разности можно разложить не только по формуле, данной ранее. Их можно представить таким видом: (x+y)²=(x+y)(x+y) и (x-y)²=(x-y)(x-y).
На основании того, что первые три формулы сокращенного умножения можно представить в виде произведения из двух многочленов, можно утверждать, что и сумму квадратов можно представить, как произведение из двух многочленов.
Но все возможные комбинации уже использованы. Квадрат суммы - это произведение сумм этих чисел, квадрат разности - произведение разностей этих чисел, а разность квадратов - произведение суммы и разности. Значит, сумму квадратов нельзя представить в виде формулы сокращенного умножения.

Неполный квадрат

Для дальнейшего повторения формул сокращенного умножения мы должны также вспомнить еще один термин. Мы рассмотрели понятия квадрат суммы и квадрат разности ((x+y)²=x²+2xy+y² и (x-y)²=x²-2xy+y²). Так что же тогда такое неполный квадрат? Нам понадобятся неполный квадрат суммы и неполный квадрат разности. Неполный квадрат суммы - это x²+xy+y² (сумма квадрата первого числа, произведения первого числа на второе и второго числа), а неполный квадрат разности - это x²-xy+y² (квадрат первого числа минус произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа). Как мы видим, в обоих случаях вместо удвоенного произведения первого числа на второе появляется произведение первого числа на второе.

Сумма кубов

Вот мы и приступили к тому моменту, который, как я подозреваю, мало кто помнит. Время проверить знания.

x³+y³=(x+y)(x²-xy+y²)

Сумма кубов двух чисел равна произведению этих чисел и неполного квадрата их суммы.

Разность кубов

И сейчас мы вспомним еще одну, очень похожую на предыдущую, формулу.

x³-y³=(x-y)(x²+xy+y²)

Читается: >.

Куб суммы

Эту формулу и следующую за ней немного сложно запомнить, но я все же надеюсь, что в нашем классе есть ученики с хорошей памятью, что мы сейчас и проверим.

(x+y)³=x³+3x²y+3xy²+y³

Куб суммы двух чисел равен сумме квадрата первого числа, утроенного произведения квадрата первого числа на второе, утроенного произведения первого числа на квадрат второго и куба второго числа.

Куб разности

И вот наконец мы дошли до последней формулы, изучаемой в седьмом классе.

(x-y)³=x³-3x²y+3xy²-y³

Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго числа.

Формулы сокращенного выражения очень часто применяются на практике, так что их все желательно выучить наизусть. До этого момента нам будет служить верой и правдой , которую мы рекомендуем распечатать и все время держать перед глазами:

Первые четыре формулы из составленной таблицы формул сокращенного умножения позволяют возводить в квадрат и куб сумму или разность двух выражений. Пятая предназначена для краткого умножения разности и суммы двух выражений. А шестая и седьмая формулы используются для умножения суммы двух выражений a и b на их неполный квадрат разности (так называют выражение вида a 2 −a·b+b 2 ) и разности двух выражений a и b на неполный квадрат их суммы (a 2 +a·b+b 2 ) соответственно.

Стоит отдельно заметить, что каждое равенство в таблице представляет собой тождество . Этим объясняется, почему формулы сокращенного умножения еще называют тождествами сокращенного умножения.

При решении примеров, особенно в которых имеет место разложение многочлена на множители , ФСУ часто используют в виде с переставленными местами левыми и правыми частями:

Три последних тождества в таблице имеют свои названия. Формула a 2 −b 2 =(a−b)·(a+b) называется формулой разности квадратов , a 3 +b 3 =(a+b)·(a 2 −a·b+b 2 ) - формулой суммы кубов , а a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+b 2 ) - формулой разности кубов . Обратите внимание, что соответствующим формулам с переставленными частями из предыдущей таблицы фсу мы никак не назвали.

Дополнительные формулы

В таблицу формул сокращенного умножения не помешает добавить еще несколько тождеств.

Сферы применения формул сокращенного умножения (фсу) и примеры

Основное предназначение формул сокращенного умножения (фсу) объясняется их названием, то есть, оно состоит в кратком умножении выражений. Однако сфера применения ФСУ намного шире, и не ограничивается кратким умножением. Перечислим основные направления.

Несомненно, центральное приложение формулы сокращенного умножения нашли в выполнении тождественных преобразований выражений . Наиболее часто эти формулы используются в процессе упрощения выражений .

Пример.

Упростите выражение 9·y−(1+3·y) 2 .

Решение.

В данном выражении возведение в квадрат можно выполнить сокращенно, имеем 9·y−(1+3·y) 2 =9·y−(1 2 +2·1·3·y+(3·y) 2) . Остается лишь раскрыть скобки и привести подобные члены: 9·y−(1 2 +2·1·3·y+(3·y) 2)= 9·y−1−6·y−9·y 2 =3·y−1−9·y 2 .

При расчёте алгебраических многочленов для упрощения вычислений используются формулы сокращенного умножения . Всего таких формул семь. Их все необходимо знать наизусть.

Следует также помнить, что вместо a и b в формулах могут стоять как числа, так и любые другие алгебраические многочлены.

Разность квадратов

Разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел и их суммы.

a 2 - b 2 = (a - b)(a + b)

Квадрат суммы

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Обратите внимание, что с помощью этой формулы сокращённого умножения легко находить квадраты больших чисел , не используя калькулятор или умножение в столбик. Поясним на примере:

Найти 112 2 .

Разложим 112 на сумму чисел, чьи квадраты мы хорошо помним.2
112 = 100 + 1

Запишем сумму чисел в скобки и поставим над скобками квадрат.
112 2 = (100 + 12) 2

Воспользуемся формулой квадрата суммы:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 x 100 x 12 + 12 2 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544

Помните, что формула квадрат суммы также справедлива для любых алгебраических многочленов.

(8a + с) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2

Предостережение!!!

(a + b) 2 не равно a 2 + b 2

Квадрат разности

Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго числа.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

Также стоит запомнить весьма полезное преобразование:

(a - b) 2 = (b - a) 2
Формула выше доказывается простым раскрытием скобок:

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 = b 2 - 2ab + a 2 = (b - a) 2

Куб суммы

Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Запомнить эту «страшную» на вид формулу довольно просто.

Выучите, что в начале идёт a 3 .

Два многочлена посередине имеют коэффициенты 3.

В спомним, что любое число в нулевой степени есть 1. (a 0 = 1, b 0 = 1). Легко заметить, что в формуле идёт понижение степени a и увеличение степени b. В этом можно убедиться:
(a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Предостережение!!!

(a + b) 3 не равно a 3 + b 3

Куб разности

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Запоминается эта формула как и предыдущая, но только с учётом чередования знаков «+» и «-». Перед первым членом a 3 стоит «+» (по правилам математики мы его не пишем). Значит, перед следующим членом будет стоять «-», затем опять «+» и т.д.

(a - b) 3 = + a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Сумма кубов ( Не путать с кубом суммы!)

Сумма кубов равна произведению суммы двух чисел на неполный квадрат разности.

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2)

Сумма кубов - это произведение двух скобок.

Первая скобка - сумма двух чисел.

Вторая скобка - неполный квадрат разности чисел. Неполным квадратом разности называют выражение:

A 2 - ab + b 2
Данный квадрат неполный, так как посередине вместо удвоенного произведения обычное произведение чисел.

Разность кубов (Не путать с кубом разности!!!)

Разность кубов равна произведению разности двух чисел на неполный квадрат суммы.

a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2)

Будьте внимательны при записи знаков. Следует помнить, что все формулы, приведённые выше, используется также и справа налево.

Легкий способ запомнить формулы сокращенного умножения, или… Треугольник Паскаля.

Трудно запоминаются формулы сокращенного умножения? Делу легко помочь. Нужно просто запомнить, как изображается такая простая вещь, как треугольник Паскаля. Тогда вы вспомните эти формулы всегда и везде, вернее, не вспомните, а восстановите.

Что же такое треугольник Паскаля? Этот треугольник состоит из коэффициентов, которые входят в разложение любой степени двучлена вида в многочлен.

Разложим, например, :

В этой записи легко запоминается, что вначале стоит куб первого, а в конце - куб второго числа. А вот что посередине - запоминается сложно. И даже то, что в каждом следующем слагаемом степень одного множителя все время уменьшается, а второго - увеличивается - несложно заметить и запомнить, труднее дело обстоит с запоминанием коэффициентов и знаков (плюс там или минус?).

Итак, сначала коэффициенты. Не надо их запоминать! На полях тетрадки быстренько рисуем треугольник Паскаля, и вот они - коэффициенты, уже перед нами. Рисовать начинаем с трех единичек, одна сверху, две ниже, правее и левее - ага, уже треугольник получается:

Первая строка, с одной единичкой - нулевая. Потом идет первая, вторая, третья и так далее. Чтобы получить вторую строку, нужно по краям снова приписать единички, а в центре записать число, полученное сложением двух чисел, стоящих над ним:

Записываем третью строку: опять по краям единицы, и опять, чтобы получить следующее число в новой строке, сложим числа, стоящие над ним в предыдущей:

Как вы уже догадались, мы получаем в каждой строке коэффициенты из разложения двучлена в многочлен:

Ну а знаки запомнить еще проще: первый - такой же, как в раскладываемом двучлене (раскладываем сумму - значит, плюс, разность - значит, минус), а дальше знаки чередуются!

Вот такая это полезная штука - треугольник Паскаля. Пользуйтесь!

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.