Найти точку пересечения двух прямых по координатам. Простой алгоритм определения пересечения двух отрезков

Пусть даны две прямые и требуется найти их точку пересечения. Так как эта точка принадлежит каждой из двух данных прямых, то ее координаты должны удовлетворять как уравнению первой прямой, так и уравнению второй прямой.

Таким образом, для того чтобы найти координаты точки пересечения двух прямых, следует решить систему уравнений

Пример 1. Найти точку пересечения прямых и

Решение. Координаты искомой точки пересечения мы найдем, решив систему уравнений

Точка пересечения М имеет координаты

Покажем, как построить прямую по ее уравнению. Для построения прямой достаточно знать две ее точки. Чтобы построить каждую из этих точек, мы задаемся произвольным значением одной из ее координат, а затем из уравнения находим соответствующее значение другой координаты.

Если в общем уравнении прямой оба коэффициента при текущих координатах не равны нулю , то для построения этой прямой лучше всего находить точки ее пересечения с осями координат.

Пример 2. Построить прямую .

Решение. Находим точку пересечения данной прямой с осью абсцисс. Для этого решаем совместно их уравнения:

и получаем . Таким образом, найдена точка М (3; 0) пересечения данной прямой с осью абсцисс (рис. 40).

Решая затем совместно уравнение данной прямой и уравнение оси ординат

мы находим точку пересечения прямой с осью ординат. Наконец, строим прямую по ее двум точкам М и

  1. Чтобы найти координаты точки пересечения графиков функций нужно приравнять обе функции друг к другу, перенести в левую часть все члена, содержащие $ x $, а в правую остальные и найти корни, полученного уравнения.
  2. Второй способ заключается в том, что нужно составить систему уравнений и решить её путём подстановки одной функции в другую
  3. Третий способ подразумевает графическое построение функций и визуальное определение точки пересечения.

Случай двух линейных функций

Рассмотрим две линейные функции $ f(x) = k_1 x+m_1 $ и $ g(x) = k_2 x + m_2 $. Эти функции называются прямыми. Построить их достаточно легко, нужно взять любые два значения $ x_1 $ и $ x_2 $ и найти $ f(x_1) $ и $ (x_2) $. Затем повторить тоже самое и с функцией $ g(x) $. Далее визуально найти координату точки пересечения графиков функций.

Следует знать, что линейные функции имеют только одну точку пересечения и только тогда, когда $ k_1 \neq k_2 $. Иначе, в случае $ k_1=k_2 $ функции параллельны друг другу, так как $ k $ - это коэффициент угла наклона. Если $ k_1 \neq k_2 $, но $ m_1=m_2 $, тогда точкой пересечения будет $ M(0;m) $. Это правило желательно запомнить для ускоренного решения задач.

Пример 1
Пусть даны $ f(x) = 2x-5 $ и $ g(x)=x+3 $. Найти координаты точки пересечения графиков функций.
Решение

Как это сделать? Так как представлены две линейные функции, то первым делом смотрим на коэффициент угла наклона обеих функций $ k_1 = 2 $ и $ k_2 = 1 $. Замечаем, что $ k_1 \neq k_2 $, поэтому существует одна точка пересечения. Найдём её с помощью уравнения $ f(x)=g(x) $:

$$ 2x-5 = x+3 $$

Переносим слагаемые с $ x $ в левую часть, а остальные в правую:

$$ 2x - x = 3+5 $$

Получили $ x=8 $ абциссу точки пересечения графиков, а теперь найдём ординату. Для этого подставим $ x = 8 $ в любое из уравнений хоть в $ f(x) $, либо в $ g(x) $:

$$ f(8) = 2\cdot 8 - 5 = 16 - 5 = 11 $$

Итак, $ M (8;11) $ - является точкой пересечения графиков двух линейных функций.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Ответ
$$ M (8;11) $$

Случай двух нелинейных функций

Пример 3
Найти координаты точки пересечения графиков функций: $ f(x)=x^2-2x+1 $ и $ g(x)=x^2+1 $
Решение

Как быть с двумя нелинейными функциями? Алгоритм простой: приравниваем уравнения друг к другу и находим корни:

$$ x^2-2x+1=x^2+1 $$

Разносим по разным сторонам уравнения члены с $ x $ и без него:

$$ x^2-2x-x^2=1-1 $$

Найдена абцисса искомой точки, но её недостаточно. Ещё нехватает ординаты $ y $. Подставляем $ x = 0 $ в любое из двух уравнений условия задачи. Например:

$$ f(0)=0^2-2\cdot 0 + 1 = 1 $$

$ M (0;1) $ - точка пересечения графиков функций
Ответ
$$ M (0;1) $$

Перпендикулярная прямая

Это задача наверное одна из самых популярных и востребованных в школьных учебниках. Задачи, основанные на эту тему многообразны. Это и определение точки пересечения двух прямых, это и определение уравнения прямой, проходящяя через точку на исходной прямой под каким либо углом.

Эту тему мы раскроем, используя в своих вычислениях данные полученные с помощью

Именно там было рассмотрено преобразование общего уравнения прямой, в уравнение с угловым коэффициентом и обратно, и определения остальных парметров прямой по заданным условиям.

Что же нам не хвататет для того, что бы решать те задачи, которым посвящена эта страница?

1. Формулы вычисления одного из углов между двумя пересекающимися прямыми.

Если мы имеем две прямые которые заданы уравнениями:

то один из углов вычисляется так:

2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящяя через заданную точку

Из формулы 1, мы можем увидеть два пограничных состояния

а) когда тогда и следовательно эти две заданные прямые паралельны (или совпадают)

б) когда , тогда , и следовательно эти прямые перпендикулярны, то есть пересекаются под прямым углом.

Какие могут быть исходные данные для решения подобных задач, кроме заданной прямой?

Точка на прямой и угол под которым вторая прямая его пересекает

Второе уравнение прямой

Какие же задачи может позволить решить бот?

1. Заданы две прямые (явным или не явным образом например по двум точкам). Вычислить точку пересечения и углы по которыми они пересекаются.

2. Задана одна прямая, точка на прямой и один угол. Определить уравнение прямой, перескающую заданную под указанным углом

Примеры

Две прямые заданы уравнениями. Найти точку пересечения этих прямых и углы под которым они пересекаются

line_p A=11;B=-5;C=6,k=3/7;b=-5

Получаем следующий результат

Уравнение первой прямой

y = 2.2 x + (1.2)

Уравнение второй прямой

y = 0.4285714285714 x + (-5)

Угол пересечения двух прямых(в градусах)

-42.357454705937

Точка пересечения двух прямых

x = -3.5

y = -6.5


Не забудьте что параметры двух линий разделяются запятой, а параметры каждой линии точкой с запятой.

Прямая проходит через две точки (1:-4) и (5:2) . Найти уравнение прямой, которая проходит через точку (-2:-8) и пересекает исходную прямую под углом 30 градусов.

Одна прямая нам известна, так как известны две точки через которые она проходит.

Осталось определить уравнение второй прямой. Одна точка нам известна, а вместо второй указан угол, под которым первая прямая пересекает вторую.

Вроде все известно, но тут главное не ошибится. Речь идет об угле(30 градусов) не между осью абсцисс и линией, а между первой и второй линией.

Для этого мы постим так. Определим параметры первой линии, и узнаем под каким углом она пересекает ось абсцисс.

line xa=1;xb=5;ya=-4;yb=2

Общее уравнение Ax+By+C = 0

Коэффициент А = -6

Коэффициент B = 4

Коэффициент C = 22

Коэффициент a= 3.6666666666667

Коэффициент b = -5.5

Коэффициент k = 1.5

Угол наклона к оси (в градусах) f = 56.309932474019

Коэффициент p = 3.0508510792386

Коэффициент q = 2.5535900500422

Расстояние между точками=7.211102550928

Видим что первая линия пересекает ось под углом 56.309932474019 градусов.

В искходных данных не сказано как именно пересекает вторая линия, первую. Можно ведь построить две линии удовлетворяющих условиям, первая повернутая на 30 градусов ПО часовой стрелке, а вторая на 30 градусов ПРОТИВ часовой стрелке.

Давайте их и посчитаем

Если вторая линия повернута на 30 градусов ПРОТИВ часовой стрелке, то вторая линия будет иметь градус пересечения с осью абсцисс 30+56.309932474019 = 86 .309932474019 градусов

line_p xa=-2;ya=-8;f=86.309932474019

Параметры прямой линии по заданным параметрам

Общее уравнение Ax+By+C = 0

Коэффициент А = 23.011106998916

Коэффициент B = -1.4840558255286

Коэффициент C = 34.149767393603

Уравнение прямой в отрезках x/a+y/b = 1

Коэффициент a= -1.4840558255286

Коэффициент b = 23.011106998916

Уравнение прямой c угловым коэфициентом y = kx + b

Коэффициент k = 15.505553499458

Угол наклона к оси (в градусах) f = 86.309932474019

Нормальное уравнение прямой x*cos(q)+y*sin(q)-p = 0

Коэффициент p = -1.4809790664999

Коэффициент q = 3.0771888256405

Расстояние между точками=23.058912962428

Расстояние от точки до прямой li =

то есть наше уравнение второй линии есть y=15.505553499458x + 23.011106998916

Тема 3. Теория

Аналитическая геометрия в пространстве.

Уравнения плоскости и прямой линии.

 Общее уравнение плоскости является алгебраическим уравнением первого порядка относительно координат (x ; y ; z )

- нормаль , вектор, перпендикулярный плоскости.


Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей определяются условиями коллинеарности и перпендикулярности нормалей.

Некоторые стандартные виды уравнений плоскости:

Уравнение плоскости, перпендикулярной вектору
, проходящей через данную точкуМ 0 (х 0 , y 0 , z 0 )

A(x-x 0 )+B(y-y 0 )+C(z-z 0 )=0

Плоскость, проходящая через три заданные точки М 1 (х 1 , y 1 , z 1 ) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2 ) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3 )

Параллельная двум заданным векторам
и
, (неколлинеарный), проходящим через точкуМ 0 (х 0 , y 0 , z 0 )

Проходящая через две заданные точки М 1 и М 2 , параллельно вектору , (неколлинеарный
)

Проходящая через заданную точку М 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) , перпендикулярно двум заданным плоскостям:

    A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0 ;

    A 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2 =0 .

Собственно уравнения плоскости будут получены, если раскрыть соответствующий определитель по первой строке.

 Формула для вычисления расстояния от заданной точки М 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) до плоскости , заданной уравнением Ах+ By + Cz + D =0 :

.

Очевидно, если d =0 , то точка М 1 принадлежит плоскости.

Прямая линия в пространстве определяется как линия пересечения двух не параллельных плоскостей (любых, проходящих через прямую).

Виды уравнений прямой в пространстве:

Общие уравнения прямой (пересечение двух плоскостей)

,

М 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) – любая точка, лежащая на прямой.
-направляющий вектор прямой

Канонические уравнения

прямой или уравнения прямой, проходящей через заданную точку с заданным направляющим вектором

Параметрическое уравнение

Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки М 1 и М 2

Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве определяются как условия соответственно коллинеарности и перпендикулярности их направляющих векторов. Пусть прямые (1) и (2) заданы в каноническом или параметрическом виде, тогда

.

Условие пересечения двух прямых в пространстве – это условие комплонарности трех векторов:

Переход от общих уравнений прямой к уравнениям в каноническом или параметрическом виде осуществляется следующим образом (возможен и обратный переход).

Заданы уравнения прямой в общем виде:
.

Найдем координаты направляющего вектора:
как векторное произведение нормалей плоскостей, задающих прямую.

Найдем любую точку, принадлежащую прямой. Она также принадлежит обеим плоскостям, задающим прямую, поэтому ее координаты (x 0 , y 0 , z 0) можно найти из системы уравнений:

,

в которой одну из координат надо задать произвольно (т.к. находим любую точку), но так, чтобы система имела единственное решение. Координаты вектора и найденной точки подставляют в канонические или параметрические уравнения.

Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости формулируют как условия перпендикулярности и параллельности нормали и направляющего вектора.

,

Al+Bm+Cn=0.

,

.