Основные законы геометрической оптики линзы. Основные законы геометрической оптики. Полное отражение

Геометрическая оптика использует представление о световых лучах, распространяющихся независимо друг от друга, прямолинейных в однородной среде, отражающихся и преломляющихся на границах сред с разными оптическими свойствами. Вдоль лучей происходит перенос энергии световых колебаний.

Показатель преломления среды. Оптические свойства прозрачной среды характеризуются показателем преломления который определяет скорость (точнее, фазовую скорость) световых волн:

где с - скорость света в вакууме. Показатель преломления воздуха близок к единице (пвозд воды его значение равно 1,33, а у стекла в зависимости от сорта может составлять от 1,5 до 1,95. Особенно велик показатель преломления алмаза - приблизительно 2,5.

Значение показателя преломления, вообще говоря, зависит от длины волны Я (или от частоты : Эту зависимость называют дисперсией света. Например, у хрусталя (свинцового стекла) показатель преломления плавно меняется от 1,87 для красного света с длиной волны до 1,95 для синего света с

Показатель преломления связан с диэлектрической проницаемостью среды (для данной длины волны или частоты) соотношением Среда с большим значением показателя преломления называется оптически более плотной.

Законы геометрической оптики. Поведение световых лучей подчиняется основным законам геометрической оптики.

1. В однородной среде световые лучи прямолинейны (закон прямолинейного распространения света).

2. На границе двух сред (или на границе среды с вакуумом) возникает отраженный луч, лежащий в плоскости, образуемой падающим лучом и нормалью к границе, т. е. в плоскости падения, причем угол отражения равен углу падения (рис. 224):

(закон отражения, света).

3. Преломленный луч лежит в плоскости падения (при падении света на границу изотропной среды) и образует с нормалью к границе угол (угол преломления), определяемый соотношением

(закон преломления света или закон Снеллиуса).

При переходе света в оптически более плотную среду луч приближается к нормали Отношение называют относительным показателем преломления двух сред (или показателем преломления второй среды относительно первой).

Рис. 224. Отражение и преломление спета на плоской границе двух сред

При падении света из вакуума на границу среды с показателем преломления закон преломления принимает вид

Для воздуха показатель преломления близок к единице поэтому и при падении света из воздуха на некоторую среду можно пользоваться формулой (4).

При переходе света в оптически менее плотную среду угол падения не может превышать предельного значения так как угол преломления не может превышать (рис. 225):

Если угол падения происходит полное отражение, т. е. вся энергия падающего света возвращается в первую, оптически более плотную, среду. Для границы стекло - воздух

Рис. 225. Предельный угол полного отражения

Принцип Гюйгенса и законы геометрической оптики. Законы геометрической оптики были установлены задолго до выяснения природы света. Эти законы могут быть выведены из волновой теории на основе принципа Гюйгенса. Их применимость ограничена явлениями дифракции.

Остановимся подробнее на переходе от волновых представлений о распространении света к представлениям геометрической оптики. С помощью принципа Гюйгенса по заданной волновой поверхности падающей волны можно построить волновые поверхности преломленной и отраженной волн. При этом следует учесть, что световые лучи перпендикулярны волновым поверхностям.

Рассмотрим плоскую световую волну, падающую из среды 1 (с показателем преломления на плоскую границу раздела со средой 2 (с показателем преломления под углом (рис. 226). Угол падения - это угол между падающим лучом и нормалью к границе раздела.

Рис. 226. Построение Гюйгенса для отражения и преломления света

В то же время - это угол между границей раздела и волновой поверхностью падающей волны. Пусть в некоторый момент эта волновая поверхность занимает положение Спустя время она достигнет точки В границы раздела. За это же время вторичная волна из точки А, распространяющаяся в среде X, расширится до радиуса Подставляя сюда получаем Отсюда ясно, что волновая поверхность отраженной волны, представляющая собой огибающую всех вторичных сферических волн с центрами на отрезке наклонена к границе раздела на угол который равен (равенство углов и следует из равенства прямоугольных треугольников и имеющих общую гипотенузу и равные катеты и Таким образом, отраженный луч перпендикулярный фронту отраженной волны, образует с нормалью угол равный углу падения

Аналогично из этого построения Гюйгенса можно получить и закон преломления. В среде 2 вторичные волны распространяются со скоростью и поэтому выходящая из точки А сферическая волна спустя время имеет радиус Подставляя сюда находим Разделив обе части этого равенства на приходим к соотношению

которое, очевидно, совпадает с законом преломления (3), так как угол наклона волновой поверхности волны в среде 2 есть в то же время и угол между преломленным лучом и нормалью к границе раздела (угол преломления, рис. 226).

Отражение и преломление на искривленной поверхности. Плоская волна характеризуется тем свойством, что ее волновые поверхности представляют собой неограниченные плоскости, а направление ее распространения и амплитуда везде одинаковы. Часто электромагнитные волны, не являющиеся плоскими, можно приближенно рассматривать как плоские на небольшом участке пространства. Для этого необходимо, чтобы амплитуда и направление распространения волны почти не менялись на протяжении расстояний порядка длины волны. Тогда также можно ввести понятие лучей, т. е. линий, касательная к которым в каждой точке совпадает с направлением распространения волны. Если при этом граница раздела двух сред, например поверхность линзы, может считаться приблизительно плоской на расстояниях порядка длины волны, то поведение лучей света на такой границе будет описываться теми же законами отражения и преломления.

Изучение законов распространения световых волн в этом случае составляет предмет геометрической оптики, поскольку в этом приближении оптические законы можно сформулировать на языке геометрии. Многие оптические явления, такие, как, например, прохождение света через оптические системы, формирующие изображение, можно рассматривать исходя из представления о световых лучах, совершенно отвлекаясь от волновой природы света. Поэтому представления геометрической оптики справедливы лишь в той степени, в какой можно пренебречь явлениями дифракции световых волн. Дифракция сказывается тем слабее, чем меньше длина волны. Это значит, что геометрическая оптика соответствует предельному случаю малых длин волн:

Физическую модель пучка световых лучей можно получить, если пропустить свет от источника пренебрежимо малого размера через небольшое отверстие в непрозрачном экране. Выходящий из отверстия свет заполняет некоторую область, и если длина волны пренебрежимо мала по сравнению с размерами отверстия, то на небольшом расстоянии от него можно говорить о пучке световых лучей с резкой границей.

Интенсивность отраженного и преломленного света. Законы отражения и преломления позволяют определить только направление соответствующих световых лучей, но ничего не говорят об их интенсивности. Между тем опыт показывает, что соотношение интенсивностей отраженного и преломленного лучей, на которые расщепляется исходный луч на границе раздела, сильно зависит от угла падения. Например, при нормальном падении света на поверхность стекла отражается около 4% энергии падающего светового пучка, а при падении на поверхность воды - только 2 %. Но при скользящем падении поверхности стекла и воды отражают почти все падающее излучение. Благодаря этому мы можем любоваться зеркальными отражениями берегов в спокойной прозрачной воде горных озер.

Рис. 227. У естественного спета колебания сектора Е происходят по всевозможных направлениях в плоскости, перпендикулярной лучу

Естественный свет. Световая волна, как и любая электромагнитная волна, поперечна: вектор Е лежит в плоскости, перпендикулярной направлению распространения. Испускаемый обычными источниками (например, раскаленными телами) свет неполяризован. Это значит, что в световом луче колебания вектора Е происходят во всевозможных направлениях в плоскости, перпендикулярной направлению луча (рис. 227). Такой неполяризованный свет называется естественным. Его можно представить как некогерентную смесь двух световых волн одинаковой интенсивности, линейно поляризованных в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Эти направления можно выбрать произвольно.

Поляризация света при отражении. При изучении отражения неполяризованного света от границы раздела сред удобно выбрать одно из двух независимых направлений вектора Е в плоскости падения, а второе - перпендикулярно ей. Условия отражения этих двух волн оказываются различными: волна, у которой вектор Е перпендикулярен плоскости падения (т. е. параллелен границе раздела) при всех углах падения (кроме 0 и 90°), отражается сильнее. Поэтому отраженный свет оказывается частично поляризованным, а при отражении под некоторым определенным углом (для стекла около 56°) - полностью поляризованным.

Этим обстоятельством пользуются для устранения бликов, например при фотографировании пейзажа с водной поверхностью. Подбирая должным образом ориентацию поляризационного светофильтра, пропускающего световые колебания только определенной поляризации, можно практически полностью устранить блики на фотографии.

Принцип Ферма. Основные законы геометрической оптики - закон прямолинейного распространения света в однородной среде, законы отражения и преломления света на границе раздела двух сред - могут быть получены с помощью принципа Ферма. Согласно этому принципу действительный путь распространения монохроматического луча света есть путь, для прохождения которого свету требуется экстремальное (как правило, минимальное) время по сравнению с любым другим близким к нему мыслимым путем между теми же точками.

Рис. 228. К выводу закона отражения света из принципа Ферма

Возьмем для примера закон отражения света. Сразу видно, что он непосредственно следует из принципа Ферма. Пусть луч света, вышедшего из точки А, отражается от зеркала в некоторой точке С и приходит в заданную точку В (рис. 228). Согласно принципу Ферма, проходимый светом путь должен быть короче любого другого пути по близкой траектории, например Чтобы найти положение точки отражения С, отложим на опущенном из точки А перпендикуляре к зеркалу отрезок равный и соединим точки А и В отрезком прямой.

Пересечение этого отрезка с поверхностью зеркала и дает положение точки С. Действительно, легко видеть, что и потому путь света из точки А в точку В равен отрезку Путь света из А в В через любую другую точку равный будет длиннее, так как прямая - это кратчайшее расстояние между двумя точками А и В. Из рис. 228 сразу видно, что именно такое положение точки С соответствует равенству углов падения и отражения:

Рис. 229. Мнимое изображение точки А в плоском зеркале

Изображение в плоском зеркале. Точка А, расположенная симметрично точке А относительно поверхности плоского зеркала, представляет собой изображение точки А в этом зеркале. В самом деле, узкий пучок лучей, выходящих из

А, отражающихся в зеркале и попадающих в глаз наблюдателя (рис. 229), будет казаться выходящим из точки А. Создаваемое плоским зеркалом изображение называется мнимым, так как в точке А пересекаются не сами отраженные лучи, а их продолжения назад. Очевидно, что изображение протяженного предмета в плоском зеркале будет равным по размерам самому предмету.

Что такое световые лучи? Как это понятие соотносится с понятием волновой поверхности? Какое отношение имеют лучи к направлению распространения световых колебаний?

В каких условиях можно использовать представление о световых лучах?

Что такое показатель преломления среды? Как он связан со скоростью распространения света?

Сформулируйте основные законы геометрической оптики. Что такое плоскость падения? Объясните на основе соображений симметрии, почему луч как при отражении, так и при преломлении не выходит из этой плоскости.

При каких условиях отражение света на границе раздела будет полным? Что такое предельный угол полного отражения?

Поясните, как можно получить законы прямолинейного распространения, отражения и преломления на основе принципа Гюйгенса.

Почему законы отражения и преломления света, сформулированные для плоской границы раздела, можно применять и в случае искривленных поверхностей (линзы, капли воды и др.)?

Приведите примеры наблюдавшихся вами явлений, свидетельствующих о зависимости интенсивности отраженного света от угла падения.

Почему при отражении естественного света получается частично поляризованный свет?

Сформулируйте принцип Ферма и покажите, что из него следует закон отражения света.

Докажите, что изображение предмета в плоском зеркале равно по размерам самому предмету.

Принцип Ферма и формула линзы. Скорость света в среде с показателем преломления равна Поэтому принцип Ферма можно сформулировать как требование минимальности оптической длины луча при распространении света между двумя заданными точками. Под оптической длиной луча понимается произведение показателя преломления на длину пути луча. В неоднородной среде оптическая длина складывается из оптических длин на отдельных участках. Использование этого принципа позволяет рассмотреть некоторые задачи с несколько иной точки зрения, чем при непосредственном применении законов отражения и преломления. Например, при рассмотрении фокусирующей оптической системы вместо применения закона преломления можно просто потребовать равенства оптических длин всех лучей.

Получим с помощью принципа Ферма формулу тонкой линзы, не прибегая к закону преломления. Для определенности будем рассматривать двояковыпуклую линзу со сферическими преломляющими поверхностями, радиусы кривизны которых равны (рис. 230).

Хорошо известно, что с помощью собирающей линзы можно получить действительное изображение точки. Пусть предмет, его изображение. Все лучи, исходящие из и прошедшие через линзу, собираются в одной точке Пусть лежит на главной оптической оси линзы, тогда изображение также лежит на оси. Что значит получить формулу линзы? Это значит установить связь между расстояниями от предмета до линзы и от линзы до изображения и величинами, характеризующими данную линзу: радиусами кривизны ее поверхностей и показателем преломления

Из принципа Ферма следует, что оптические длины всех лучей, выходящих из источника и собирающихся в точке, являющейся его изображением, одинаковы. Рассмотрим два из этих лучей: один, идущий вдоль оптической оси, второй - через край линзы (рис. 230а).

Рис. 230. К вьшоду формулы тонкой линзы

Несмотря на то, что второй луч проходит большее расстояние, его путь в стекле короче, чем у первого, так что время распространения света для них одинаково. Выразим это математически. Обозначения величин всех отрезков указаны на рисунке. Приравняем оптические длины первого и второго лучей:

Выразим по теореме Пифагора:

Теперь воспользуемся приближенной формулой которая справедлива при с точностью до членов порядка Считая малым по сравнению с с точностью до членов порядка имеем

Аналогично для получаем

Подставляем выражения (8) и (9) в основное соотношение (7) и приводим подобные члены:

В этой формуле в случае тонкой линзы можно пренебречь величинами в знаменателях правой части по сравнению с и очевидно, что в левой части выражения следует сохранить, ибо этот член стоит множителем.

С той же точностью, что и в формулах (8) и (9), с помощью теоремы Пифагора можно представить в виде (рис. 230б)

Теперь остается только подставить эти выражения в левую часть формулы (10) и сократить обе части равенства на :

Это и есть искомая формула тонкой линзы. Вводя обозначение

ее можно переписать в виде

Фокусное расстояние линзы. Из формулы (12) нетрудно понять, что есть фокусное расстояние линзы: если источник находится на бесконечности (т.е. на линзу падает параллельный пучок лучей), его изображение находится в фокусе. Полагая получаем

Аберрации. Полученное свойство фокусировки параллельного пучка монохроматических лучей является, как видно из проделанного вывода, приближенным и справедливо лишь для узкого пучка, т. е. для лучей, не слишком сильно отстоящих от оптической оси. Для широких пучков лучей имеет место сферическая аберрация, проявляющаяся в том, что далекие от оптической оси лучи пересекают ее не в фокусе (рис. 231). В результате изображение бесконечно удаленного точечного источника, создаваемое широким пучком лучей, преломленных линзой, оказывается несколько размытым.

Кроме сферической аберрации, линза как оптический прибор, формирующий изображение, обладает рядом других недостатков.

Например, даже узкий параллельный пучок монохроматических лучей, образующий некоторый угол с оптической осью линзы, после преломления не собирается в одну точку. При использовании немонохроматического света у линзы проявляется еще и хроматическая аберрация, связанная с тем, что показатель преломления зависит от длины волны. В результате, как видно из формулы (11), узкий параллельный пучок лучей белого света пересекается после преломления в линзе не в одной точке: лучи каждого цвета имеют свой фокус.

При конструировании оптических приборов удается в большей или меньшей степени устранить эти недостатки путем применения специально рассчитанных сложных многолинзовых систем. Однако одновременно устранить все недостатки невозможно. Поэтому приходится идти на компромисс и, рассчитывая оптические приборы, предназначенные для определенной цели, добиваться устранения одних недостатков и мириться с присутствием других. Например, объективы, предназначенные для наблюдения объектов малой яркости, должны пропускать возможно больше света, что вынуждает мириться с некоторыми аберрациями, неизбежными при использовании широких пучков света.

Рис. 231. Сферическая аберрация линзы

Для объективов телескопов, где изучаемыми объектами являются звезды - точечные источники, расположенные вблизи оптической оси прибора, особенно важно устранить сферическую и хроматическую аберрацию для широких пучков, параллельных оптической оси. Устранить хроматическую аберрацию проще всего путем использования в оптической системе отражения вместо преломления. Так как лучи всех длин волн отражаются одинаково, то телескоп-рефлектор, в отличие от рефрактора, полностью лишен хроматической аберрации. Если при этом еще надлежащим образом выбрать форму поверхности отражающего зеркала, то можно полностью избавиться и от сферической аберрации для пучков, параллельных оптической оси. Для получения точечного осевого изображения зеркало должно быть параболическим.

Возводя обе части в квадрат и приводя подобные члены, найдем

Это уравнение параболы.

Рис. 232. Все параллельные лучи после отражения от параболического зеркала собираются в точке

Параболические зеркала используются во всех крупнейших телескопах. В этих телескопах устранены сферическая и хроматическая аберрации; однако параллельные пучки, идущие даже под небольшими углами к оптической оси, после отражения не пересекаются в одной точке и дают сильно искаженные внеосевые изображения. Поэтому пригодное для работы поле зрения оказывается очень небольшим, порядка нескольких десятков угловых минут,

Поясните, почему применительно к фокусирующей оптической системе принцип Ферма формулируется как условие равенства оптических длин всех лучей от точки предмета до ее изображения.

Выведите с помощью принципа Ферма закон преломления света на границе раздела двух сред.

Сформулируйте приближения, при выполнении которых справедлива формула тонкой линзы.

В чем проявляются сферическая и хроматическая аберрации линзы?

Какие преимущества и какие недостатки имеет параболическое зеркало по сравнению со сферическим?

Покажите, что эллиптическое зеркало отражает все лучи, вышедшие из одного фокуса эллипсоида, в другой фокус.

Глава 3. Оптика

Оптика – раздел физики, изучающий свойства и физическую природу света, а также его взаимодействие с веществом. Учение о свете принято делить на три части:

геометрическая или лучевая оптика , в основе которой лежит представление о световых лучах;
волновая оптика , изучающая явления, в которых проявляются волновые свойства света;
квантовая оптика , изучающая взаимодействие света с веществом, при котором проявляются корпускулярные свойства света.

В настоящей главе рассматриваются две первые части оптики. Корпускулярные свойства света будут рассматриваться в гл. V.

Геометрическая оптика

Основные законы геометрической оптики

Основные законы геометрической оптики были известны задолго до установления физической природы света.

Закон прямолинейного распространения света : в оптически однородной среде свет распространяется прямолинейно. Опытным доказательством этого закона могут служить резкие тени, отбрасываемые непрозрачными телами при освещении светом источника достаточно малых размеров («точечный источник»). Другим доказательством может служить известный опыт по прохождению света далекого источника сквозь небольшое отверстие, в результате чего образуется узкий световой пучок. Этот опыт приводит к представлению о световом луче как о геометрической линии, вдоль которой распространяется свет. Следует отметить, что закон прямолинейного распространения света нарушается и понятие светового луча утрачивает смысл, если свет проходит через малые отверстия, размеры которых сравнимы с длиной волны. Таким образом, геометрическая оптика, опирающаяся на представление о световых лучах, есть предельный случай волновой оптики при λ → 0. Границы применимости геометрической оптики будут рассмотрены в разделе о дифракции света.

На границе раздела двух прозрачных сред свет может частично отразиться так, что часть световой энергии будет распространяться после отражения по новому направлению, а часть пройдет через границу и продолжит распространяться во второй среде.

Закон отражения света : падающий и отраженный лучи, а также перпендикуляр к границе раздела двух сред, восстановленный в точке падения луча, лежат в одной плоскости (плоскость падения ). Угол отражения γ равен углу падения α.

Закон преломления света : падающий и преломленный лучи, а также перпендикуляр к границе раздела двух сред, восстановленный в точке падения луча, лежат в одной плоскости. Отношение синуса угла падения α к синусу угла преломления β есть величина, постоянная для двух данных сред:

Законы отражения и преломления находят объяснение в волновой физике. Согласно волновым представлениям, преломление является следствием изменения скорости распространения волн при переходе из одной среды в другую. Физический смысл показателя преломления – это отношение скорости распространения волн в первой среде υ 1 к скорости их распространения во второй среде υ 2:

Рис 3.1.1 иллюстрирует законы отражения и преломления света.

Среду с меньшим абсолютным показателем преломления называют оптически менее плотной.

При переходе света из оптически более плотной среды в оптически менее плотную n 2 < n 1 (например, из стекла в воздух) можно наблюдать явление полного отражения , то есть исчезновение преломленного луча. Это явление наблюдается при углах падения, превышающих некоторый критический угол α пр, который называется предельным углом полного внутреннего отражения (см. рис. 3.1.2).

Для угла падения α = α пр sin β = 1; значение sin α пр = n 2 / n 1 < 1.

Если второй средой является воздух (n 2 ≈ 1), то формулу удобно переписать в виде

Явление полного внутреннего отражения находит применение во многих оптических устройствах. Наиболее интересным и практически важным применением является создание волоконных световодов , которые представляют собой тонкие (от нескольких микрометров до миллиметров) произвольно изогнутые нити из оптически прозрачного материала (стекло, кварц). Свет, попадающий на торец световода, может распространяться по нему на большие расстояния за счет полного внутреннего отражения от боковых поверхностей (рис 3.1.3). Научно-техническое направление, занимающееся разработкой и применением оптических световодов, называется волоконной оптикой .

Зеркала

Простейшим оптическим устройством, способным создавать изображение предмета, является плоское зеркало . Изображение предмета, даваемое плоским зеркалом, формируется за счет лучей, отраженных от зеркальной поверхности. Это изображение является мнимым, так как оно образуется пересечением не самих отраженных лучей, а их продолжений в «зазеркалье» (рис 3.2.1).

Вследствие закона отражения света мнимое изображение предмета располагается симметрично относительно зеркальной поверхности. Размер изображения равен размеру самого предмета.

Сферическим зеркалом называют зеркально отражающую поверхность, имеющую форму сферического сегмента. Центр сферы, из которой вырезан сегмент, называют оптическим центром зеркала . Вершину сферического сегмента называют полюсом . Прямая, проходящая через оптический центр и полюс зеркала, называется главной оптической осью сферического зеркала. Главная оптическая ось выделена из всех других прямых, проходящих через оптический центр, только тем, что она является осью симметрии зеркала.

Сферические зеркала бывают вогнутыми и выпуклыми . Если на вогнутое сферическое зеркало падает пучок лучей, параллельный главной оптической оси, то после отражения от зеркала лучи пересекутся в точке, которая называется главным фокусом F зеркала. Расстояние от фокуса до полюса зеркала называютфокусным расстоянием и обозначают той же буквой F . У вогнутого сферического зеркала главный фокус действительный. Он расположен посередине между центром и полюсом зеркала (рис 3.2.2).

Следует иметь в виду, что отраженные лучи пересекаются приблизительно в одной точке только в том случае, если падающий параллельный пучок был достаточно узким (так называемый параксиальный пучок ).

Главный фокус выпуклого зеркала является мнимым. Если на выпуклое зеркало падает пучок лучей, параллельных главной оптической оси, то после отражения в фокусе пересекутся не сами лучи, а их продолжения (рис 3.2.3).

Фокусным расстояниям сферических зеркал приписывается определенный знак: для вогнутого зеркала для выпуклого где R – радиус кривизны зеркала.

Изображение какой-либо точки A предмета в сферическом зеркале можно построить с помощью любой пары стандартных лучей:

луч AOC , проходящий через оптический центр зеркала; отраженный луч COA идет по той же прямой;
луч AFD , идущий через фокус зеркала; отраженный луч идет параллельно главной оптической оси;
луч AP , падающий на зеркало в его полюсе; отраженный луч симметричен с падающим относительно главной оптической оси.
луч AE , параллельный главной оптической оси; отраженный луч EFA 1 проходит через фокус зеркала.

На рис 3.2.4 перечисленные выше стандартные лучи изображены для случая вогнутого зеркала. Все эти лучи проходят через точку A" , которая является изображением точки A . Все остальные отраженные лучи также проходят через точку A" . Ход лучей, при котором все лучи, вышедшие из одной точки, собираются в другой точке, называется стигматическим . Отрезок A"B" является изображением предмета AB . Аналогичны построения для случая выпуклого зеркала.

Положение изображения и его размер можно также определить с помощью формулы сферического зеркала :

Здесь d – расстояние от предмета до зеркала, f – расстояние от зеркала до изображения. Величины d и f подчиняются определенному правилу знаков:

d > 0 и f > 0 – для действительных предметов и изображений;
d < 0 и f < 0 – для мнимых предметов и изображений.

Для случая, изображенного на рис 3.2.4, имеем:

F > 0 (зеркало вогнутое); d = 3F > 0 (действительный предмет).

По формуле сферического зеркала получаем: следовательно, изображение действительное.

Если бы на месте вогнутого зеркала стояло выпуклое зеркало с тем же по модулю фокусным расстоянием, мы получили бы следующий результат:

F < 0, d = –3F > 0, – изображение мнимое.

Линейное увеличение сферического зеркала Γ определяется как отношение линейных размеров изображения h " и предмета h .

Величине h " удобно приписывать определенный знак в зависимости от того, является изображение прямым (h" > 0) или перевернутым (h" < 0). Величина h всегда считается положительной. При таком определении линейное увеличение сферического зеркала выражается формулой, которую можно легко получить из рис 3.2.4:

В первом из рассмотренных выше примеров – следовательно, изображение перевернутое, уменьшенное в 2 раза. Во втором примере – изображение прямое, уменьшенное в 4 раза.

Тонкие линзы

Линзой называется прозрачное тело, ограниченное двумя сферическими поверхностями. Если толщина самой линзы мала по сравнению с радиусами кривизны сферических поверхностей, то линзу называют тонкой .

Линзы входят в состав практически всех оптических приборов. Линзы бывают собирающими и рассеивающими . Собирающая линза в середине толще, чем у краев, рассеивающая линза, наоборот, в средней части тоньше (рис. 3.3.1).

Прямая, проходящая через центры кривизны O 1 и O 2 сферических поверхностей, называется главной оптической осью линзы. В случае тонких линз приближенно можно считать, что главная оптическая ось пересекается с линзой в одной точке, которую принято называть оптическим центром линзы O . Луч света проходит через оптический центр линзы, не отклоняясь от первоначального направления. Все прямые, проходящие через оптический центр, называютсяпобочными оптическими осями .

Если на линзу направить пучок лучей, параллельных главной оптической оси, то после прохождения через линзу лучи (или их продолжения) соберутся в одной точке F , которая называется главным фокусом линзы. У тонкой линзы имеются два главных фокуса, расположенных симметрично на главной оптической оси относительно линзы. У собирающих линз фокусы действительные, у рассеивающих – мнимые. Пучки лучей, параллельных одной из побочных оптических осей, после прохождения через линзу также фокусируются в точку F" , которая расположена при пересечении побочной оси с фокальной плоскостью Ф, то есть плоскостью, перпендикулярной главной оптической оси и проходящей через главный фокус (рис. 3.3.2). Расстояние между оптическим центром линзы O и главным фокусом F называется фокусным расстоянием. Оно обозначаетcя той же буквой F .

Основное свойство линз – способность давать изображения предметов . Изображения бывают прямыми и перевернутыми , действительными и мнимыми ,увеличенными и уменьшенными .

Положение изображения и его характер можно определить с помощью геометрических построений. Для этого используют свойства некоторых стандартных лучей, ход которых известен. Это лучи, проходящие через оптический центр или один из фокусов линзы, а также лучи, параллельные главной или одной из побочных оптических осей. Примеры таких построений представлены на рис. 3.3.3 и 3.3.4.

Следует обратить внимание на то, что некоторые из стандартных лучей, использованных на рис. 3.3.3 и 3.3.4 для построения изображений, не проходят через линзу. Эти лучи реально не участвуют в образовании изображения, но они могут быть использованы для построений.

Положение изображения и его характер (действительное или мнимое) можно также рассчитать с помощью формулы тонкой линзы . Если расстояние от предмета до линзы обозначить через d , а расстояние от линзы до изображения через f , то формулу тонкой линзы можно записать в виде:

Формула тонкой линзы аналогична формуле сферического зеркала. Ее можно получить для параксиальных лучей из подобия треугольников на рис. 3.3.3 или 3.3.4.

Фокусным расстояниям линз принято приписывать определенные знаки: для собирающей линзы F > 0, для рассеивающей F < 0.

Величины d и f также подчиняются определенному правилу знаков:
d > 0 и f > 0 – для действительных предметов (то есть реальных источников света, а не продолжений лучей, сходящихся за линзой) и изображений;
d < 0 и f < 0 – для мнимых источников и изображений.

Для случая, изображенного на рис. 3.3.3, имеем: F > 0 (линза собирающая), d = 3F > 0 (действительный предмет).

По формуле тонкой линзы получим: следовательно, изображение действительное.

В случае, изображенном на рис. 3.3.4, F < 0 (линза рассеивающая), d = 2|F | > 0 (действительный предмет), то есть изображение мнимое.

В зависимости от положения предмета по отношению к линзе изменяются линейные размеры изображения. Линейным увеличением линзы Γ называют отношение линейных размеров изображения h" и предмета h . Величине h" , как и в случае сферического зеркала, удобно приписывать знаки плюс или минус в зависимости от того, является изображение прямым или перевернутым. Величина h всегда считается положительной. Поэтому для прямых изображений Γ > 0, для перевернутыхΓ < 0. Из подобия треугольников на рис. 3.3.3 и 3.3.4 легко получить формулу для линейного увеличения тонкой линзы:

В рассмотренном примере с собирающей линзой (рис. 3.3.3): d = 3F > 0, следовательно, – изображение перевернутое и уменьшенное в 2 раза.

В примере с рассеивающей линзой (рис. 3.3.4): d = 2|F | > 0, ; следовательно, – изображение прямое и уменьшенное в 3 раза.

Оптическая сила D линзы зависит как от радиусов кривизны R 1 и R 2 ее сферических поверхностей, так и от показателя преломления n материала, из которого изготовлена линза. В курсах оптики доказывается следующая формула:

Радиус кривизны выпуклой поверхности считается положительным, вогнутой – отрицательным. Эта формула используется при изготовлении линз с заданной оптической силой.

Во многих оптических приборах свет последовательно проходит через две или несколько линз. Изображение предмета, даваемое первой линзой, служит предметом (действительным или мнимым) для второй линзы, которая строит второе изображение предмета. Это второе изображение также может быть действительным или мнимым. Расчет оптической системы из двух тонких линз сводится к двукратному применению формулы линзы, при этом расстояние d 2 от первого изображения до второй линзы следует положить равным величине l – f 1 , где l – расстояние между линзами. Рассчитанная по формуле линзы величина f 2 определяет положение второго изображения и его характер (f 2 > 0 – действительное изображение, f 2 < 0 – мнимое). Общее линейное увеличение Γ системы из двух линз равно произведению линейных увеличений обеих линз: Γ = Γ 1 · Γ 2 . Если предмет или его изображение находятся в бесконечности, то линейное увеличение утрачивает смысл.

Частным случаем является телескопический ход лучей в системе из двух линз, когда и предмет, и второе изображение находятся на бесконечно больших расстояниях. Телескопический ход лучей реализуется в зрительных трубах – астрономической трубе Кеплера и земной трубе Галилея (см. § 3.5).

Тонкие линзы обладают рядом недостатков, не позволяющих получать высококачественные изображения. Искажения, возникающие при формировании изображения, называются аберрациями . Главные из них – сферическая и хроматическая аберрации. Сферическая аберрация проявляется в том, что в случае широких световых пучков лучи, далекие от оптической оси, пересекают ее не в фокусе. Формула тонкой линзы справедлива только для лучей, близких к оптической оси. Изображение удаленного точечного источника, создаваемое широким пучком лучей, преломленных линзой, оказывается размытым.

Хроматическая аберрация возникает вследствие того, что показатель преломления материала линзы зависит от длины волны света λ. Это свойство прозрачных сред называется дисперсией. Фокусное расстояние линзы оказывается различным для света с разными длинами волн, что приводит к размытию изображения при использовании немонохроматического света.

В современных оптических приборах применяются не тонкие линзы, а сложные многолинзовые системы, в которых удается приближенно устранить различные аберрации.

Формирование собирающей линзой действительного изображения предмета используется во многих оптических приборах, таких как фотоаппарат, проектор и т. д.

Фотоаппарат представляет собой замкнутую светонепроницаемую камеру. Изображение фотографируемых предметов создается на фотопленке системой линз, которая называется объективом . Специальный затвор позволяет открывать объектив на время экспозиции.

Особенностью работы фотоаппарата является то, что на плоской фотопленке должны получаться достаточно резкими изображения предметов, находящихся на разных расстояниях.

В плоскости фотопленки получаются резкими только изображения предметов, находящихся на определенном расстоянии. Наведение на резкость достигается перемещением объектива относительно пленки. Изображения точек, не лежащих в плоскости резкого наведения, получаются размытыми в виде кружков рассеяния. Размер d этих кружков может быть уменьшен путем диафрагмирования объектива, т.е. уменьшения относительного отверстия a / F (рис. 3.3.5). Это приводит к увеличению глубины резкости.

Рисунок 3.3.5. Фотоаппарат

Проекционный аппарат предназначен для получения крупномасштабных изображений. Объектив O проектора фокусирует изображение плоского предмета (диапозитив D ) на удаленном экране Э (рис. 3.3.6). Система линз K , называемая конденсором , предназначена для того, чтобы сконцентрировать свет источника S на диапозитиве. На экране Э создается действительное увеличенное перевернутое изображение. Увеличение проекционного аппарата можно менять, приближая или удаляя экран Э с одновременным изменением расстояния между диапозитивом D и объективом O .

Похожая информация.

В результате изучения данной главы студент должен: знать

понятия волновой и геометрической оптики;
понятие корпускулярно-волнового дуализма;
четыре закона геометрической оптики;
понятие интерференции света, когерентности, цуга;
принцип Гюйгенса - Френеля;
расчет интерференционной картины двух источников;
расчет интерференции в тонких пленках;
принципы просветления оптики; уметь
решать типовые прикладные физические задачи на законы геометрической оптики и интерференцию света;

владеть

навыками использования стандартных методов и моделей математики применительно к законам геометрической оптики и интерференции света;
навыками использования методов аналитической геометрии и векторной алгебры применительно к законам геометрической оптики и интерференции света;
навыками проведения физического эксперимента, а также обработки результатов эксперимента но законам геометрической оптики и интерференции света.

Волновая и геометрическая оптика. Законы геометрической оптики

Волновая оптика - раздел оптики, который описывает распространение света с учетом его волновой электромагнитной природы. В рамках волновой оптики теория Максвелла позволила достаточно просто объяснить такие оптические явления, как интерференция, дифракция, поляризация и т.п.

В конце XVII в. оформились две теории света: волновая (продвигалась Р. Гуком и X. Гюйгенсом) и корпускулярная (ее продвигал И. Ньютон). Волновая теория воспринимает свет как волновой процесс, подобный упругим механическим волнам. Согласно корпускулярной (квантовой) теории свет представляет собой поток частиц (корпускул), описываемых законами механики. Так, отражение света можно рассматривать аналогично отражению упругого шарика от плоскости. Долгое время две теории света считались альтернативными. Однако многочисленные опыты показали, что свет в одних опытах обнаруживает волновые свойства, а в других - корпускулярные. Поэтому в начале XX в. было признано, что свет принципиально имеет двойственную природу - обладает корпускулярно-волновым дуализмом.

Но прежде чем излагать основные положения и результаты волновой оптики, сформулируем элементарные законы геометрической оптики.

Геометрическая оптика - раздел оптики, изучающий законы распространения света в прозрачных средах и правила построения изображений при прохождении света в оптических системах без учета его волновых свойств. В геометрической оптике вводится понятие светового луча, определяющего направление потока лучистой энергии. При этом полагается, что распространение света не зависит от поперечных размеров пучка света. В соответствии с законами волновой оптики это справедливо, если поперечный размер пучка много больше длины волны света. Геометрическую оптику можно рассматривать как предельный случай волновой оптики при стремящейся к нулю длине волны света. Точнее границы применимости геометрической оптики будут определены при изучении дифракции света.

Основные законы геометрической оптики были открыты опытным путем задолго до выявления физической природы света. Сформулируем четыре закона геометрической оптики.

1. Закон прямолинейного распространения света: в оптически однородной среде свет распространяется прямолинейно. Подтверждением этого закона служит резкая тень, отбрасываемая телом при освещении точечным источником света. Другой пример - при прохождении света далекого источника через небольшое отверстие получается узкий прямой световой луч. При этом необходимо, чтобы размер отверстия был много больше длины волны.
2. Закон независимости световых пучков: производимый отдельным пучком света эффект не зависит от других пучков. Так, освещенность поверхности, на которую надает несколько пучков, равна сумме освещенностей, создаваемых отдельными пучками. Исключением являются нелинейные оптические эффекты, которые могут иметь место при больших интенсивностях света.

Рис. 26.1

3. Закон отражения света: падающий и отраженный лучи (а также перпендикуляр к границе раздела двух сред , (плоскости падения) по разные стороны от перпендикуляра. Угол отражения у равен углу падения а (рис. 26.1):

4. Закон преломления света: падающий и преломленный лучи (а также перпендикуляр к границе раздела двух сред , восстановленный в точке падения луча) лежат в одной плоскости (плоскости падения) по разные стороны от перпендикуляра.

Отношение синуса угла падения а к синусу угла преломления р есть величина , постоянная для двух данных сред (рис. 26.1):

Здесь п - показатель преломления второй среды относительно первой.

Показатель преломления среды относительно вакуума называют абсолютным показателем преломления. Относительный показатель преломления двух сред равен отношению их абсолютных показателей преломления:

Законы отражения и преломления имеют объяснение в волновой физике. Преломление является следствием изменения скорости распространения волн при переходе из одной среды в другую. Физический смысл показателя преломления - отношение скорости распространения волны в первой среде v { к скорости распространения во второй среде v 2:

Абсолютный показатель преломления равен отношению скорости света с в вакууме к скорости света v в среде:

Среду с большим абсолютным показателем преломления называют оптически более плотной средой. При переходе света из оптически более плотной среды в оптически менее плотную, например из стекла в воздух (п 2 может иметь место явление полного отражения , т.е. исчезновение преломленного луча. Это явление наблюдается при углах падения, превышающих некоторый критический угол а пр, который называется предельным углом полного внутреннего отражения. Для угла падения а = а пр условием исчезновения преломленного луча является

Если второй средой является воздух (п 2 ~ 1), то с помощью формул (26.2) и (26.3) формулу для вычисления предельного угла полного внутреннего отражения удобно записать в виде

где п = п х > 1 - абсолютный показатель преломления первой среды. Для границы раздела «стекло - воздух» (п = 1,5) критический угол а пр = 42°, для границы «вода - воздух» (п = 1,33) а пр = 49°.

Наиболее интересным применением полного внутреннего отражения является создание волоконных световодов , которые представляют собой тонкие (от нескольких микрометров до нескольких миллиметров) произвольно изогнутые нити из оптически прозрачного материала (стекло, кварц, пластик). Свет, попадающий на торец световода, может распространяться по нему на большие расстояния за счет полного внутреннего отражения от боковых поверхностей. Световод нельзя изгибать сильно, поскольку при сильном изгибе условие полного внутреннего отражения (26.7) нарушается и свет частично выходит из волокна через боковую поверхность.

Отметим, что первый, третий и четвертый законы геометрической оптики можно вывести из принципа Ферма (принципа наименьшего времени): траектория распространения светового луча соответствует наименьшему времени распространения. И это несложно показать.

В заключение рассмотрим одну из забавных задач геометрической оптики - создание шапки-невидимки. С точки зрения оптики шапка-невидимка могла бы представлять собой систему огибания объекта лучами света.

Сделать такую систему, воспользовавшись законом преломления света, в принципе несложно, основная проблема - в борьбе с сильным затуханием света в преломляющей системе. Поэтому лучшим вариантом может оказаться система из видеорегистратора изображения за объектом и телепередатчика этого изображения перед объектом.

В основе разработки практически всех оптических приборов и систем лежат законы распространения света. Некоторые из них учитывают двойственную природу света, некоторые - нет. Наиболее общие законы распространения света, не связанные с его природой, рассматриваются именно в геометрической оптике. С этими законами вам и предстоит познакомиться на этом уроке.

Тема: Оптика

Урок: Законы геометрической оптики

Геометрическая оптика является самой древней частью оптики как науки.

Геометрическая оптика - это раздел оптики, в котором рассматривают вопросы распространения света в различных оптических системах (линзах, призмах и т. д.) без рассмотрения вопроса о природе света.

Одним из основных понятий в оптике и, в частности, в геометрической оптике, является понятие луча.

Световой луч - линия, вдоль которой распространяется световая энергия.

Световой луч - это пучок света, толщина которого много меньше расстояния, на которое он распространяется. Такое определение близко, например, к определению материальной точки, которое дается в кинематике.

Первый закон геометрической оптики (Закон о прямолинейном распространении света): в однородной прозрачной среде свет распространяется прямолинейно.

По теореме Ферма: свет распространяется по такому направлению, время распространения по которому будет минимально.

Второй закон геометрической оптики (Законы отражения):

1. Отраженный луч лежит в одной плоскости с падающим лучом и перпендикуляром к границе раздела двух сред.

2. Угол падения равен углу отражения (см. Рис. 1).

∟α = ∟β

Рис. 1. Закон отражения

Третий закон геометрической оптики (Закон преломления) (см. Рис. 2)

1. Преломленный луч лежит в одной плоскости с падающим лучом и перпендикуляром, восстановленным в точку падения.

2. Отношение синуса угла падения к синусу угла преломления есть величина, постоянная для данных двух сред, которая называется показателем преломления (n).

Интенсивность отраженного и преломленного луча зависит от того, какова среда и что собой представляет граница раздела.

Рис. 2. Закон преломления

Физический смысл показателя преломления:

Показатель преломления является относительным, так как измерения проводятся относительно двух сред.

В том случае, если одна из сред - это вакуум:

С - скорость света в вакууме,

n - абсолютный показатель преломления, характеризующий среду относительно вакуума.

Если свет переходит из оптически менее плотной среды в оптически более плотную среду, то скорость света уменьшается.

Оптически более плотная среда - среда, в которой скорость света меньше.

Оптически менее плотная среда - среда, в которой скорость света больше.

Существует предельный угол преломления - наибольший угол падения луча, при котором еще имеет место преломление при переходе луча в менее плотную среду. При углах падения больше предельного происходит полное внутреннее отражение (см. Рис. 3).

Рис. 3. Закон полного внутреннего отражения

Границы применимости геометрической оптики заключаются в том, что необходимо учитывать размер препятствий для света.

Свет характеризуется длиной волны, равной примерно 10 -9 метра

Если препятствия больше длины волны, то можно использовать размеры геометрической оптики.

Физика. 11 класс: Учебник для общеобразоват. учреждений и шк. с углубл. изучением физики: профильный уровень / А.Т. Глазунов, О.Ф. Кабардин, А.Н. Малинин и др. Под ред. А.А. Пинского, О.Ф. Кабардина. Рос. акад. наук, Рос. акад. образования. - М.: Просвещение, 2009.
Касьянов В.А. Физика. 11 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений. - М.: Дрофа, 2005.
Мякишев Г.Я. Физика: Учеб. для 11 кл. общеобразоват. учреждений. - М.: Просвещение, 2010.

Санкт-Петербургская Школа ().
AYP.ru ().
Техническая и учебно-методическая документація ().

Рымкевич А.П. Физика. Задачник. 10-11 кл. - М.: Дрофа, 2010. - № 1023, 1024, 1042, 1054.

Зная скорость света в вакууме, найдите скорость света в алмазе.
Почему, сидя у костра, мы видим предметы, расположенные напротив, колеблющимися?
Прокомментируйте опыт: положите монетку на стол и поставьте на нее пустую стеклянную банку (см. Рис. 4). Посмотрите на монетку сбоку сквозь стенку банки (или попросите кого-нибудь смотреть на монетку). Налейте воды полную банку и посмотрите вновь сбоку на дно банки. Куда исчезла монетка?

Основные законы геометрической оптики были известны задолго до установления физической природы света.

Закон прямолинейного распространения света : в оптически однородной среде свет распространяется прямолинейно.

Опытным доказательством этого закона могут служить резкие тени, отбрасываемые непрозрачными телами при освещении светом источника достаточно малых размеров («точечный источник»). Другим доказательством может служить известный опыт по прохождению света далекого источника сквозь небольшое отверстие, в результате чего образуется узкий световой пучок. Этот опыт приводит к представлению о световом луче как о геометрической линии, вдоль которой распространяется свет. Следует отметить, что закон прямолинейного распространения света нарушается и понятие светового луча утрачивает смысл, если свет проходит через малые отверстия, размеры которых сравнимы с длиной волны. Таким образом, геометрическая оптика, опирающаяся на представление о световых лучах, есть предельный случай волновой оптики при λ → 0 (исчезающе малой длине волны). Границы применимости геометрической оптики будут рассмотрены в разделе о дифракции света.

Закон отражения света : падающий и отраженный лучи, а также перпендикуляр к границе раздела двух сред, восстановленный в точке падения луча, лежат в одной плоскости (плоскость падения ). Угол отражения γ равен углу падения α.

Закон преломления света : падающий и преломленный лучи, а также перпендикуляр к границе раздела двух сред, восстановленный в точке падения луча, лежат в одной плоскости. Отношение синуса угла падения α к синусу угла преломления β есть величина, постоянная для двух данных сред:

Закон преломления был экспериментально установлен голландским ученым Виллебрордом Снелиусом в 1621 г.

Постоянную величину n называют относительным показателем преломления второй среды относительно первой. Показатель преломления среды относительно вакуума называют абсолютным показателем преломления .

Относительный показатель преломления двух сред равен отношению их абсолютных показателей преломления:

n = n 2 / n 1 .

Законы отражения и преломления находят объяснение в волновой физике. Согласно волновым представлениям, преломление является следствием изменения скорости распространения волн при переходе из одной среды в другую. Физический смысл показателя преломления - это отношение скорости распространения волн в первой среде υ 1 к скорости их распространения во второй среде υ 2:

Абсолютный показатель преломления равен отношению скорости света c в вакууме к скорости света υ в среде:

Рис 3.1.1 иллюстрирует законы отражения и преломления света.

Среду с меньшим абсолютным показателем преломления называют оптически менее плотной.

Для угла падения α = α пр sin β = 1; значение sin α пр = n 2 / n 1 < 1.

Если второй средой является воздух (n 2 ≈ 1), то формулу удобно переписать в виде